Глава 1. Расчет простых цепей постоянного тока

Последовательное соединение (делитель напряжения). Расчет сводится к применению закона Ома при замене соединения эквивалентным сопротивлением R.

R = R₁ + R₂ + R₃;

;

U = U₁ + U₂ + U₃.

Параллельное соединение

Пренебрегая сопротивлением проводов, можно считать, что одной стороной резисторы присоединены к одному полюсу источника, другой – ко второму, т.е. напряжение на них одинаково (U).

Соединение также можно заменить одним эквивалентным резистором из соотношения

или через проводимости (g):

g = g₁ + g₂ + g₃.

Токи в ветвях определяются по закону Ома, общий ток равен сумме токов в ветвях (1-й закон Кирхгофа):

I=I₁+I₂+I₃.

Смешанное соединение

Схема упрощается путем замены параллельных и последовательных соединений сопротивлений на эквивалентные. Начиная с конца схемы сопротивления R₂ и R₃ включены параллельно, заменяем их на R₂₃, а с R₁ соединение последовательное.

Расчет ведется в обратном порядке:

1. По схеме 3 находим I₁ =U/R.

2. По схеме 2 находим U₂₃ = I₁R₂₃.

3. По схеме 1 находим I₂ = U₂₃ /R₂, I₃ = U₂₃ /R₃.

4. Проверка: I₁ = I₂ + I₃, U₁I₁ = I₁²R₁ + I₂²R₂ + I₃²R₃ (баланс мощностей ).

Встречается также соединения в «треугольник» и в «звезду». Они взаимно преобразуются, и схема сводится к смешанному соединению с последовательным и параллельным соединением элементов.

Примеры решения задач

1.1.

Д ано: R₁ = 4 Ом;

R₂ = 6 Ом;

R₃ = 10 Ом;

R₄ = 15 Ом;

U = 120 В.

Определить: I, I₁, I₂, I₃, I₄, P.

Рис. 1.1

Упрощаем схему: R₃ и R₄ включены параллельно. Заменяем эквивалентным сопротивлением R₃₄:

Ом.

Резисторы R₂ и R₃₄ включены последовательно. Заменяем их эквивалентным сопротивлением R₂₃₄:

R₂₃₄ = R₂ + R₃₄ ; R₂₃₄ = 6 + 6 = 12 Ом.

Теперь имеем параллельное соединение, которое также приводим к одному эквивалентному сопротивлению R₁₂₃₄:

; Ом.

Расчет ведем в обратной последовательности:

1. по схеме 4 находим , А.

Мощность, отдаваемая генератором: Р = UI; Р = 120 · 40 = 4800 Вт;

2. по схеме 3 находим токи I₁ и I₂:

; А;

; А;

3. по схеме 2 находим напряжение U₃₄:

U₃₄ = I₂ · R₃₄; U₃₄ = 10 · 6 = 60 В;

4. по схеме 1 определяем токи I₃, I₄:

; А;

; А;

5. проверка: в узлах «а» и «в» проверяем первый закон Кирхгофа:

узел «а»: I = I₁ + I₂; 40 = 30 + 10;

узел «в»: I₂ = I₃ + I₄; 10 = 6 + 4.

Первый закон Кирхгофа выполняется.

Составляем баланс мощностей (мощность, отдаваемая генератором, должна быть равна сумме мощностей всех потребителей):

Р_ген = ∑Р_потр;

UI = I₁²R₁ + I₂²R₂ + I₃²R₃ + I₄²R₄;

4800 = 30² · 4 + 10² · 6 + 6² · 10 + 4² · 15 = 4800.

Баланс мощностей соблюдается, значит задача решена верно.

1.2. Как изменятся показания приборов при замыкании выключателя SA?

Рис. 1.2

Р е ш е н и е. Замыкая выключатель, шунтируем сопротивление R. Сопротивление второй ветви уменьшается, следовательно, уменьшается сопротивление всей схемы R_сх. При неизменном напряжении сети ток I₀ по закону Ома увеличится:

Ток I₁ не изменится, т.к. сопротивление R₁ не меняется и напряжение не изменилось.

Ток I₂ возрастает, что доказывается двумя способами:

по закону Ома , где R = 0 при замыкании SA, и по первому закону Кирхгофа: I₀ = I₁ + I₂, откуда I₂ = I₀ – I₁.

Напряжение на вольтметре pV₂ возрастает до значения сетевого напряжения (ветви включены параллельно, а при разомкнутом SA напряжение U₂ было меньше, т.к. U = U₂ + U_R (последовательное соединение R₂ и R), а при замыкании SA показания вольтметра pV будут равны нулю.

1.3. Как изменятся показания приборов при замыкании выключателя SA?

Рис. 1.3

Р е ш е н и е. Имеем смешанное соединение. Ветви R₁ и (R₂ + R) соединены параллельно, а с резистором R₀ последовательно. При замыкании выключателя резистор R шунтируется, сопротивление второй ветви уменьшается (R₂ + R), проводимость ветви g₂ возрастает. Первая и вторая ветви соединены параллельно, проводимость этого соединения (g₁₂ = g₁ + g₂) также увеличивается, а сопротивление ветвей R₁₂ уменьшается. Следовательно, уменьшается сопротивление всей схемы. По закону Ома общий ток I₀ возрастает:

Так как R₀ и R₁₂ соединены последовательно, напряжение сети делится: U = = U₀ + U₁₂, откуда U₁₂ = U – U₀ уменьшается (U₀ = I₀R₀ увеличится). Ток станет меньше. Изменение тока I₂ по закону Ома не доказать: , т.к. уменьшились и напряжение ветви U₁₂, и сопротивление ветви (R₂ + R). Применяем первый закон Кирхгофа: I₀ = I₁ + I₂, откуда I₂ = I₀ – I₁. Ток I₀ увеличился, а I₁ уменьшился, следовательно, I₂ возрастает. Показания вольтметра pV₂ увеличатся по закону Ома: U₂ = I₂R₂, а вольтметр pV покажет ноль.