16.Тордағы аппроксимация қателігі

Дифференциалдық теңдеулерді айырымдық әдістермен шешу – алдымен тор енгізуден басталады. Сондықтан да олар кейде торлық әдістер деп те аталады. Айырымдық торды төменде келтірілген мысал арқылы түсіндірейік.

Айталық, аралығында мынадай шекаралық есеп берілсін:

,

Бұл есеп бойынша аралығында (1) теңдеуін, ал x=0 және x=1 болғанда, шекаралық шарттарын қанағаттандыратын функциясын анықтау керек. Осы қойылған есеп үшін аралығында айырымдық тор

түрінде енгізіледі. аралығында бір-бірінен қашықтықта жатқан нүктелерін айырымдық тордың тораптары деп атайды.

Айырымдық тор енгізудің нәтижесінде аралық тор облысы деп аталатын нүктелер жиынымен алмастырылады, мұндағы – тораптар жиыны. (1) – (2) есебінің облысында анықталған дәл шешімі болсын дейік. Онда

сандары осы функциясының сәйкес

тораптардағы мәндері болады. Бұл жағдайда сандар жиыны облысында анықталған торлық функция деп аталады да арқылы белгіленеді. Әрі қарай операторларды жуықтату әдістері қарастырылады.

немесе

Егер бекітілген сан болса, онда және шамаларын айырымдық қатынастар деп қарастырса да болады. Сандық әдістер теориясында оларды айырымдық операторлар деп атап, былайша белгілейді: және . Кейде оларды айырымдық туындылар деп те атайды. және операторлардағы белгісі олардың бірінші ретті туындыға сәйкес келетінін білдіреді.

Ал егер теңдеулерде -ты мейлінше аз шама деп есептеп, ондағы lim белгісін алып тастасақ, онда нүктесінде мынадай жуық теңдіктерді алған болар едік:

Енді осы және операторлары арқылы орташа айырымдық туынды деп аталатын мынадай операторды құрамыз:

.

17.Эйлер әдісінің модификациялары

(1)

есебін қарастырайық. кесіндісінде

нүктелер жиынын (торды) алайық. шешімі мәндерінінің жуық шешімінің айырымдылық схемасын жоғарыда алынған торда құрайық:

(2)

Бұл схеманың аппроксимация (жуықтау) реті (жуықтау дәлдігі) 1-ге тең. Егер есептелсе, онда

(3)

нүктесін нүктесіне, жазықтығында дифференциалдық теңдеуінің, нүктесінен өтетін, интегральдық қисығына жанама бойымен жылжытуы.

Осы айтылған әдіс – Эйлер әдісі деп аталады.

Егер функциясы тікбұрышында Липшиц шартын қанағаттандырса, яғни , тұрақты шама және теңсіздігі орындалса, тұрақты шама, онда шешімінің қателігінің бағасы төмендегідей болады

. (4)

Ал, іс жүзінде, алдымен -ді қадамымен және -ді қадамымен есептейді де қателігінің бағасын былай анықтайды:

. (5)

Эйлер әдісін итерация әдісімен жалғастыру

. (6)

Енді итерациялық процесс құрамыз

(7)

Мысал. Мұндағы . Есептің дәл шешімі Эйлер әдісі.