3.Сызықты алгебралық теңдеулер жүйесін шешудің тура әдістері.Гаусс әдісі

САТЖ шешу әдістерін негізгі екі топқа бөлуге болады: 1. Дәл әдістері – жүйе шешімін есептеудің ақырлы алгоритмдерін береді (Крамер, Гаусс, негізгі элементтер, квадрат түбірлер т.б. әдістері). 2. Итерациялық әдістер – берілген дәлдікпен жинақталатын шексіз процесстер арқылы жүйе шешімін алуға мүмкіндік береді (итерация, Зейдель, релаксация т.б. әдістері).

Дөңгелектеу нәтижесінде дәл әдістердің де нәтижелері жуық болуы мүмкін, оның үстіне, жалпы жағдайда, түбір қателігінің бағасын алу қиындық тудырады. Ал итерациялық процесстерді қолданғанда тағы әдіс қателігі қосылады. Итерациялық әдістерді тиімді пайдалану бастапқы жуықтауды таңдауға және процесс жинақтылығының тездігіне байланысты екенін байқаймыз.

Гаусс әдісі. Белгісіздерді біртіндеп жою алгоритмі

(1)

(негізгі элемент) болсын. (1) жүйенің бірінші теңдеуінің коэффициенттерін -ге бөліп, алатынымыз:

(2)

мұндағы, .

(2) теңдеуді қолданып, (1) жүйеден -ді жоюға болады. Бұл үшін (1) жүйенің екінші теңдеуінен -ге көбейтілген (2) теңдеуді, (1) жүйенің үшінші теңдеуінен -ге көбейтілген (2) теңдеуді, т.с.с. алып тастаймыз. Нәтижесінде үш теңдеуден тұратын жүйе аламыз:

(1^/)

мұндағы коэффициенттері формуласымен есептеледі.

(1^/) жүйенің бірінші теңдеуінің коэфициенттерін – негізгі элементке бөліп, келесі теңдеуді аламыз:

, (2^/)

мұндағы .

Енді -ні -ді жойғандағыдай жойып, келесі теңдеулер жүйесіне келеміз:

(1^//)

мұндағы .

(1^//) жүйенің бірінші теңдеуінің коэффициенттерін – негізгі элементке бөліп, аламыз:

, (2^//)

мұндағы .

-ті жоғарғыдағыдай (1^//) жүйеден жойып, алатынымыз:

, (1^///)

мұндағы .

Бұдан

. (2^///)

Қалған белгісіздер (2^/), (2^//) және (2) теңдеулерден біртіндеп анықталады.

Сонымен, сызықты жүйені Гаусс әдісімен шешу процессі үшбұрышты матрицалы (2), (2^/), (2^//), (2^///) эквивалентті жүйені құруға әкеледі. Әдісті қолданудың қажетті және жеткілікті шарты барлық «негізгі элементтерінің» нөлден өзгешелігі.

4.Сызықты алгебралық теңдеулер жүйесін шешудің тура әдістері.Негізгі элемент әдісі

САТЖ шешу әдістерін негізгі екі топқа бөлуге болады: 1. Дәл әдістері – жүйе шешімін есептеудің ақырлы алгоритмдерін береді (Крамер, Гаусс, негізгі элементтер, квадрат түбірлер т.б. әдістері). 2. Итерациялық әдістер – берілген дәлдікпен жинақталатын шексіз процесстер арқылы жүйе шешімін алуға мүмкіндік береді (итерация, Зейдель, релаксация т.б. әдістері).

Дөңгелектеу нәтижесінде дәл әдістердің де нәтижелері жуық болуы мүмкін, оның үстіне, жалпы жағдайда, түбір қателігінің бағасын алу қиындық тудырады. Ал итерациялық процесстерді қолданғанда тағы әдіс қателігі қосылады. Итерациялық әдістерді тиімді пайдалану бастапқы жуықтауды таңдауға және процесс жинақтылығының тездігіне байланысты екенін байқаймыз.

Негізгі элементтер әдісі

Сызықтық теңдеулер жүйесі жалпы түрде берілсін:

                                                (1)

Берілген сызықтық теңдеулер жүйесін белгісіздерді анықтауға мүмкіндік беретін үшбұрышты жүйеге келтіруді жалпы түрде қарастырайық. Ол үшін алдымен (1) жүйесінің коэффициенттері мен бос мүшелерінен тұратын кеңейтілген матрицаны құрайық:

                     (2)

М матрицасынан бос мүшелер бағанында жатпайтын, модулі бойынша ең үлкен, нөлден айрықша элементті таңдаймыз. Ол   элементі болсын, оны негізгі элемент деп атайды  . Ал сәйкес жатық жол – негізгі жол деп аталады. Барлық жатық жолдар үшін m_i көбейткіштерді есептейміз:

(2) матрицасымен төмендегідей амалдарды орындаймыз. М матрицасының әрбір негізгі емес жатық жолдарына, негізгі жолды сәйкес көбейткіштерге көбейтіп, қосамыз. Нәтижесінде   - ші бағананың   - дан басқа элементтері нөлге айналады.   - тік жол мен негізгі жолды алып тастасақ, онда М матрицасымен салыстырғанда бір жатық, бір тік жолға кем М⁽¹⁾ матрицасын аламыз.

М⁽¹⁾ матрицасымен жоғарыдағыдай амалдарды жасасақ, М⁽¹⁾ матрицасымен салыстырғанда бір жатық, бір тік жолға кем болатын М⁽²⁾матрицасын аламыз. Осы үрдісті әрі қарай жалғастыра отырып,

матрицалар тізбегін аламыз. Ең соңғы М^(n-1) матрицасы екі элементті, бір жатық жолдан тұратын матрица. Бұл жатық жолды  негізгі жол ретінде қарастырамыз.

Енді барлық матрицалардағы негізгі жатық жолдарды жинап жазсақ, белгісіздерді анықтауға мүмкіндік беретін үшбұрышты матрица аламыз. Баяндалған әдіс негізгі элементтер әдісі деп аталады.

Негізгі элементтер әдісімен теңдеулер жүйесін шешуге болады, егер жүйенің анықтауышы нөлден айрықша болса:

.

Сонымен, бұрын қарастырылған Гаусс әдісі негізгі элементтер әдісінің дербес түрі екендігін байқаймыз. Мұнда негізгі элементтер ретінде диагональ бойында орналасқан жетекші элементтер алынады.