Эйлер әдісін итерация әдісімен жалғастыру

. (6)

Енді итерациялық процесс құрамыз

(7)

Мысал. Мұндағы . Есептің дәл шешімі Эйлер әдісі.

21.Эйлер және Рунге-Кутт әдістерін қолданып есеп шығару Эйлер әдісін итерация әдісімен жалғастыру

. (6)

Енді итерациялық процесс құрамыз

(7)

Мысал. Мұндағы . Есептің дәл шешімі Эйлер әдісі.

Рунге – Кутт әдісі

Айталық -дің жуық мәндері нүктелерінде есептелген (белгілі) болсын. Енді мәндерін мәндерінде есептеу (табу) керек. Ол үшін бүтін санын алап, келесі өрнектерді есептейміз:

(8)

Осыдан кейін

(9)

және коэффициенттерін берілген үшін аппроксимация реті соғұрлым жоғары болатындай етіп таңдаймыз. Егер -ді білсек, онда коэффициенттерін есептей аламыз. Сонан кейін

(10)

Эйлер схемасы Рунге-Кутт схемасынан болғанда алынады.

Теорема 1.

мұндағы Рунге-Кутт схемасының аппроксимация реті төртке тең, яғни дәлдігі .

Теорема 2.

(11)

мұндағы Рунге-Кутт схемасының аппроксимация реті кез келген тұрақты үшін екіге тең, яғни дәлдігі .

Дәлелдеуі. теңдеуінің шешімі келесі тепе-теңдікті қанағаттандырады . Тейлор формуласынан алатынымыз . Ендеше жоғарғы тепе-теңдікті пайдалансақ, онда шешімі келесі теңдікті қанағаттандырыды

(12)

Енді, екі айнымалыға тәуелді функциясын бойынша Тейлор қатарына жіктеп және бірінші дәрежелі мүшелерін ғана қалдырсақ, алатынымыз

(13)

(12) мен (13)-ті салыстырсақ, онда олардың бір-бірімен дәлдігімен сәйкес келетінін көреміз. Бұдан шығатыны, дәл берілгендіктен, соңғы өрнектің дәлдігі бойынша екіге тең. Теорема 2 толық дәлелденді.

Рунге-Кутт әдісімен мәнін еептеу үшін, белгілі бойынша, функциясының мәнін рет есептеу қажет. Бірақ-та бұл мәндері қайтып қолданылмайды.

22.Көп қадамды айырымдық әдістер. Адамс әдісі Адамс схемасы

Адамс схемасында әрбір келесі мәнін есептеу үшін, аппроксимация ретіне байланыссыз, функциясының мәнін тек қана бір нүктеде есептеу жеткілікті.

Ақырлы айырымдар. Ақырлы айырымдар формуласы: , тағы осы сияқты есептеледі. Енді деп белгілейік. Егер де белгілі болса, онда Адамс схемасы бойынша -ді есептейтін бірнеше айырымдылық теңдеулерін келтірейік

дәлдігі , (14)

дәлдігі , (15)

дәлдігі , (16)

. (17)

Мұндағы (14) – Эйлердің айырымдылық формуласы. (14) – (17) формулалардағы сол жағындағы мәндерінің орнына функциясының дәл мәндерін қойсақ, онда (14) – (17) теңдіктерінің үйлесімсіздігі сәйкесінше болады.

Тапсырма. 1. Адамс формуласын, (17) формуласынан бастап, келесі айырымдылық Адамс формулаларымен жалғастырып жазыңыз.

2. 14) – (17) Адамс формулаларының дәлдігін дәлелдеңіз.

(14) схемасымен есептеу үшін мәнін білген жеткілікті. Ал (15) схемасымен есептеу үшін, мәнінен басқа тағы да алдын ала мәнін білу керек. Ал (16)-шы схемасы және -лерді білуді талап етеді, т.с.с. (17) схемасы келесі төрт мәндерін білуді керек етеді. Осы мәндерін басқа бір әдіспен, мысалы Рунге-Кутт әдісімен, табуға болады.

Адамс әдістерінің Рунге-Кутт әдісіне қарағанда артықшылығы: бір қадамға аз есептеу керек; ал – кемшілігі: бастапқы есептеулерінің (ақырлы айырымдарды есептеу қажет) ыңғайсыздығы және есептеу барысында қадам -ты өзгерте алмауымызда. Ең қолайлысы осы екі әдістеріді – Рунге-Кутт пен Адамс – кезекпен қолдану.