23.Екінші ретті теңдеулерге қойылған шекаралық есептерін шешудің айырымдылық әдістері.Қуалау әдісі

(1)

(2)

,

есебін қарастырайық. және функциялары аралығында үзіліссіз болсын. Енді аралығын қадамымен бірдей бөлікке бөлеміз: . аралығының ішкі нүктелері үшін келесі белгілеулерін , енгізейік. Онда (1) теңдеуінің орнына келесі ақырлы айырымды теңдеулерін аламыз

. (*)

Немесе

(3)

мұндағы , , . (4)

және нүктелеріндегі функциясының туындысын бір жақты айырымдылық тундысымен аппроксимациялаймыз

, . (**)

Ендеше (2) шекаралық шартын былайша жазуға болады

. (5)

(3), (5) сызықты жүйесі белгісіздері болатын бірінші дәрежелі теңдеулерден тұрады.

Енді (3) теңдеуінен белгісізін өрнектейік, яғни алатынымыз

. (6)

Айталық, (3) және (5) толық жүйесінің көмегімен, (6) жүйесінен бегісізін (біртіндеп жойып) шығарып тастадық дейік. Онда осы (6) жүйесі келесі түрге келеді

(7)

мұндағы және – кейбер коэффициенттер. Енді (7) формуласынан -ді ( (7)-де ) табамыз. Осы өрнекті (3)-ке қойсақ, алатынымыз , мұнан

. (8)

Енді (7) мен (8)-ді салыстырып, мен -ді табатын, рекурренттік формуласын аламыз

Немесе бұдан шығатыны

. (9)

Енді (9)-шы рекурренттік формуласымен мен -ді есептеу үшін мен -ді анықтайық. Ол үшін (5) шекаралық шартының біріншісін келесі түрде жазайық . (5¹)

Енді (7) формуласынан деп алап, алатыннымыз

. (7¹)

(5¹) мен (7¹)-ді салыстыра отырып алатынымыз

. (10)

Ал (9) және (10) формулаларынан біртіндеп мен табамыз. Осы коэффициенттерін табуды – тура жол – дейді.

Кері жол. Алдымен -ді табудан бастайық. Ол үшін (5) -ші шекаралық шартының екіншісін пайдаланып, (7) формуласында десек, келесі екі теңдеуден тұратын жүйе аламыз

(11)

Енді (11)-ден

. (12)

(7) формуласында, яғни формуласында десек, онда барлық мәндерін табамыз.