24.Екінші ретті теңдеулерге қойылған шекаралық есептерін шешудің айырымдылық әдістері. Орнықтылығы,қателігінің бағасы.Жинақтылығы

Қуалау әдісінің дәлдігін арттыру. Қуалау әдісінің жалпы дәлдігі болады. Себебі шекаралық (2) шарттарының аппроксимасия реті ((**)-ны қара) -қа тең. Ал (1)-ші теңдеуі дәлдігімен аппроксимацияланады ((*)-ны қара). Біздің мақсатымыз (2)-ші шекаралық шартының аппроксимация ретін -қа арттыру. Сонда жалпы (1), (2) есебінің аппроксимация реті болады, яғни осы есеп дәлдігімен аппроксимацияланады.

Сонымен біз (2)-ші шекаралық шартын дәлдігімен аппроксимациялаймыз. Ол үшін және нүктелерінде функциясының келесі айырымдылық схемасын қарастырамыз: нүктесінде: , нүктесінде: . Бұл схемаларының дәлдігі .

Дәлелдеуі. болғандықтан

Бұдан, сәйкес коэффициенттеріне көбейтіп, қассақ алатынымыз:

. Тура осы сияқты .

Мұнда болатынын ескерген жөн.

Бұл жағдайда (2)-ші шекаралық шарты төмендегідей аппроксимацияланады

. (5¹)

Енді мен -ді табу үшін (5¹) теңдеуінің біріншісін және теңдеуін аламыз, яғни келесі жүйесін қарастырамыз

Бұл жүйеден -ні шығарып (жойып) алатынымыз

, (13)

мұндағы . Екінші жағынан теңдеуінде десек, алатынымыз

. (14)

(13) пен (14)-ті салыстыра отырып табатынымыз

.

Ендеше мен -ді пайдаланып, барлық мен -лерді үшін табамыз. Кері жүріс -ді табудан басталады. (5¹) теңдеуінің екінші шартын алсақ және теңдеуінде және десек, алатынымыз

Осы жүйені шешіп

.

Енді формуласында десек, онда барлық мәндерін табамыз.

25.Ақырлы айырымдар және қуалау әдісін қолданып есеп шығару

Куалау әдісі үш диагональды жүйелер үшін қолданылады: Теңдеулер жүйесі:  (1) немесе  (2) қуалау әдісі екі сатыдан тұрады: тура жөне кері куалау. Тура куалауда (1) тендеулер жүйесінің шешімін x_i = P_i x_i+1 + Q_i , і = 1,…, n - 1 (3) түрінде іздейміз. (1) - жүйеден: (3) формулада і = 1 жағдайында x₁ = P₁ x₂ + Q₁ , Бұл формулалардағы х₂ коэффициентін және бос мүшелерді теңестіріп: (1) жүйеден х₂-ны х₃ арқылы өрнектеп, ал х₁-ді (3) формуладан анықтап: мұндағы  Осылай, кез келген і = 2, ..., n - 1 үшін:  S_i=a_iP_i-1 + b_i (4) Енді кері қуалау арқылы, әуелі х_n белгісізін (1) жұйенің соңғысы және і = n - 1 үшін (2) формуланы жазамыз: Бұдан  табамыз. Осылай (3) формуламен x_n-1, …, x₁ табамыз. (3) формуладағы Р_i және Q_i - куалау коэффициенттері деп аталады және олар (4) формулалармен есептелінеді. (4) формулада S_i сандары нөл болмауын қамтамасыз ету үшін, шартының ең болмағанда бір і-мәніне орындалуы жеткілікгі. Бұл жағдайда (1) жүйенің тек бір ғана шешімі болады.  Мысал. Үш диагональды теңдеулер жүйесін     қуалау әдісімен шешіңіздер. Шешуі. 1-ші теңдеуден х₁ = -х₂ + 3. Бұдан қуалау коэффициенттері: P₁ = -1, Q₁ = 3, S₂ = a₂P₁ + b₂ = 3,  Осылай Р₃ = 9, Q₃ = 21; P₄ = -1/7, Q₄ = -15/7; P₅ = 7/29, Q₅ = -1/29, P₆ = -29/11, Q₆ = -131/11; P₇ = -11/37, Q₇ = -3; P₈ = -37/174, Q₈ =74/87. Енді n = 9 мәнінде (5) формуласы бойынша: Kepi қуалау (3) формуласы бойынша: х₈ = P₈ • х₉ +Q₈ = 0. Осылай басқа да белгісіздерді табамыз: x₇ = -3; x₆ = -4, x₅ = -l, x₄ = -2; x₃ = 3; x₂ = 2; x₁ = l

26.2-ретті теңдеулерге қойылған шекаралық есептерін шешудің айырымдылық әдістері.Коллокация әдісі

Анықтауға керек функция , жеткiлiктi сызықты дифференциалды теңдеудi 

                                 (0)

 

Және сызықтық шекаралық шарттармен

 

,                                                   (1)

 

Және де 

 

Сызықты тәуелсiз функциялардың кейбiр жиынтығын таңдаймыз 

                                                           (2)

 

базистiк функциялардың жүйесiмен атаймыз.   функциясы біртекті емес шекаралық шарттарды қанағаттандырсын

 

                                                       (3)

 

Ал қалған функциялар тиісті біртекті шекаралық шарттарды қанағаттандырады:

 

.                               (4)

 

Егер шекаралық шарттар (1) біртекті болса (A=B=0), онда қоюға болады   және тек   функциясының жүйесін қарауға.

1. шекаралық шарттың жақын шешімін іздейміз, (1) базистік функцияның сызықтық комбинациясы түрінде

 

.                                                           (5)

Онда y функциясы   (1) шекаралық шартты қанағаттандырады. Сызықты шекаралық шарт былай

 

 

функциясын құрамыз.   y-тің орнына (5)-ті қойсақ, келесіні аламыз

 

.(6)

 

Егер c_i   коэффициентінің бірнеше таңдауында мына өрнек орындалса 

     

 

Онда y функциясы   (1), (0)-ші шекаралық шарттың нақты шешімі болады. Однако подобрать так удачно функции     и коэффициенты  c_i  в общем случае не удается. Поэтому ограничиваются тем, что требуют, чтобы функция   обращалась в нуль в заданной системе точек    из интервала [a, b], которые называются точками коллокации. Сама функция  R  называется невязкой уравнения (0). Очевидно, что в точках коллокации дифференциальное уравнение  (0)  будет  удовлетворено точно, и невязка в этих точках равна нулю.

Итак, метод коллокации приводит к системе линейных уравнений

 

.                                                                (7)

 

Из системы (7) в случае ее совместности можно определить коэффициенты   , после чего приближенное решение краевой задачи дается формулой (5).