Ең жылдам түсу әдісі және оның жинақтылығы

, матрицасы үшін (1) жүйені шешудің тиімді процесі (әдісі) қателік функциясының нөлге ұмтылуынан шығады:

мұндағы жүйесінің дәл шешімі, – жуық шешімі. Әрқашан , , – белгісіз. Сондықтан да ,

Яғни, функциясының кемуі функционалының кемуіне эквивалентті. , немесе , градиентке қарсы бағытта кемитіні белгілі. Және де градиентіне қарсы бағытта ең жоғарғы жылдамдықпен кемиді. шамасын есептеуге болады. болатыны анық, сондықтан функционал минимумына болғанда жетеді жүйесін шешу есебі функционалын минимизациялау есебіне эквивалентті.

Есеп шешуі. алынып, осы нүктесіне функционалының градиентіне қарсы бағыт есептелінеді. Осы нүктесінен минималды болатын нүктесіне дейін таңдап алынған бағытта қозғаламыз, яғни келесі жуықтауы түрінде ізделінеді, және де коэффициенті берілген бағытында, функционалының минимумы шартынан, таңдалынады. Енді есептейік:

мұндағы, . болғандықтан, өрнегі өзінің минимумына нүктесінде жетеді. Және бұл минимум мәніне тең. Ары қарай, өрнегін анықтаймыз және санын өрнегінің минимум шартынан табамыз мұндағы, , т. с. с. Осылардан келесі алгоритмді аламыз:

, . Бұл жағдайда .

Теорема. Ең жылдам түсу әдісі үшін бағасы орындалады. Мұндағы .

Дәлелдеуі. Айталық болсын, – бекітілген сан. алдыңғы итерациясын пайдаланып, яғни деп алып, тағы бір тиімді итерациялық процесін жүргізейік : . Онда қателік векторлары және тиімді итерациялық процесс үшін қатынасымен байланысады.

Айталық матрицасының меншікті сандарына сәйкес келетін, яғни , ортогональ және ортонормаль меншікті векторлары болсын. Бұл жағдайда,

және

. Ары қарай,

болғандықтан үшін соңғы теңсіздіктен алатынымыз:

ең жылдам түсу әдісімен алынған келесі жуықтауы болсын, онда болатыны анық.

Осы теңсіздікке индукция әдісін қолданып, теорема тұжырымын аламыз. Шынында да болғандықтан, . Келесі Релей теңсіздігінде, бір рет (сол жағынан), екінші рет (оң жағынан) деп пайымдап алатынымыз:

немесе

.

Бұл алынған өрнек – ең жылдам түсу әдісінің жинақтылық жылдамдылығының бағасы.

15.Симпсон және трапеция жалпы формулалары

Ньютон-Котесс квадратуралық формуласында болған жағдайда

– трапеция формуласы деп аталады.

Трапеция формуласының қалдық мүшесі

функциясы аралығында екі рет дифференциалданатын, екі рет интегралданатын функция.

, .

Егер , онда трапеция формуласының көмегімен берілген интегралдың мәні артығымен, ал егер болса, онда кемімен есептелінеді.

Онан соң трапецияның жалпы формуласы қарастырылады.

Әрі қарай Симпсон формуласы және оның қалдық мүшесі қарастырылады.

Ньютон-Котесс квадратуралық формуласында болған жағдайда:

– Симпсон формуласы деп аталады.

Қалдық мүшесі:

функциясы -да үзіліссіз, дифферециалданатын, туындылары бар болсын. нүктесін бекітіп алып, қалдық мүшені -тан тәуелді функция.

, .

Онан соң Симпсонның жалпы формуласы қарастырылады.

. Оның қалдық мүшесі төмендегі формуламен анықталады:

деп белгілесек, онда