33. Уравнения и неравенства с одной переменной. Теоремы о равносильности.

Равенство (≠), содержащее переменную, называют уравнением (≠) с одной переменной (н-р: 3(2х+7)=4х-1). Корень или решение уравнения - значение переменной, при котором уравнение обращается в верное числовое равенство (н-р: 2х+5=8х-1, x=1; х²+1=0 – нет решений). Решить уравнение - найти все его корни или доказать, что их нет. Решить (≠) - найти множество его решений. Равносильные уравнения (≠) - все корни первого уравнения (≠) являются корнями второго уравнения (≠) и наоборот (н-р: х-8=2 и х+10=20 равносильны, т.к. оба уравнения имеют по одному корню: х=10; 2x+7>10 и 2x>3 равносильны, т.к. множ решений равны). Уравнения. Т: Если к обоим частям истинного = прибавить число, то получим истинное = (Ұa,b,c) (a=b =>a+c=b+c). Д-во: 1) a+c= a+c (св-во рефлекс), 2)a=b (по усл) |=> a+c=b+c/ чтд. Т: если у обеих частей истин.числ.= вычесть одно и то же число, то получим истинное = (Ұa,b,c) (a=b =>a-c=b-c). Т: Если обе части ист.числ.= * на число, то истинное = (Ұa,b,c) (a=b =>ac=bc). Числ. Неравенство – два выражения соединенных знаком «<» или «>». Св-ва (1-3 строг порядка): 1) (Ұa)(a>a) – антирефлекс; 2) (Ұa,b)(a>b => b>a) – антисимметр; 3) (Ұa,b,c)(a>b, b>c => a>c) – транзит; 4) (Ұa,b)(a=b или a>b или a<b) – связности; 5) (Ұa,b)(a>b => a-b>0). Т: Если к обоим частям истинного ≠ прибавить число, то получим истинное ≠ (Ұa,b,c) (a>b =>a+c>b+c). Д-во: 1) a>b => a-b>0, 2)a-b+(c-c)>0 |=> a+c-c-b>0 => (a+c)-(b+c)>0 => a+c>b+c чтд. Т: если у обеих частей истин.числ ≠ вычесть одно и то же число, то получим истинное ≠ (Ұa,b,c) (a>b =>a-c>b-c). Т: Если обе части ист.числ.≠ * на число (>0), то истинное ≠ (Ұa,b,c) (a>b =>ac>bc). Т: Если обе части ист.числ.≠ * на число (<0), то получим истинное ≠, если поменяем знак на противоположный (Ұa,b,c) (a>b =>ac<bc). Неравенства. Т: Пусть ≠ f(x)>g(x) задано на множ Х и h(x) – выражение определенное на том же множестве. Тогда ≠ f(x)>g(x)+h(x) – равносильно на множ Х. След: 1) если к общим частям ≠ f(x)>g(x) прибавить число d, то получим равносильные ≠: f(x)+d>g(x)+d. 2) если какое-либо слагаемое перенести из одной части ≠ в другое, то поменяв знак на противоположный, получим ≠, равносильное данному. Т: Пусть ≠ f(x)>g(x) задано на множ Х и h(x) – выражение определенное на том же множестве и для всех х на множ Х выражение h(x) принимает положит значение. Тогда f(x)>g(x) и f(x)h(x)>g(x)h(x) равносильны на множ Х. След: 1) если обе части ≠ f(x)>g(x) умножить на одно и то же полож число, то получим f(x)d>g(x)d – равносильное данному. Т: Пусть ≠ f(x)>g(x) задано на множ Х и h(x) – выражение определенное на том же множестве и для всех х на множ Х выражение h(x) принимает отриц значение. Тогда f(x)>g(x) и f(x)h(x)<g(x)h(x) равносильны на множ Х.

34. Числовая функция. Способы задания. Уравнение линии. График функции. Линейная и квадратичная функции, их свойства и графики.

Функция – одно из важнейших понятий математики. В шк. курсе основное внимание уделяется числовым функциям. Числовая функция – такое соответствие между числовым множеством Х и множеством R действ. чисел, при котором каждому числу из множества Х сопоставляется единственное число из множества R. Все значения, которые принимает аргумент - область определения функции. Все значения которые принимает функция при x ϵ D(f) – область значения функции. Задать функцию – указать правило, по которому произвольно выбранному значению x ϵ D(f) можно вычислить значение у. Способы задания функции: аналитический (формула), табличный, графический (график), словесный. Линейная - функция вида: y = kx + b; где k ϵ R, b ϵ R. График – прямая. Квадратичная - функция вида: y = ax² + bx + c; где a, b, c ϵ R, a≠0. График – парабола. a>0 –ветви вверх, a<0 – вниз. D > 0 – 2 корня, D = 0 – 1 корень, D < 0 – корней нет. Частный случай - функция вида: y = x². График - парабола