31. Множество действительных чисел, его свойства и геометрическая модель.

Множество действительных чисел - это вместе взятые множества рациональных и иррациональных чисел. R число - это любое положительное число, отрицательное число или нуль.

Св-ва мн-ва R чисел:1)Мн-во R бесконечно; 2)Мн-во R упорядоченно при помощи отнош. меньше. Опр. Пусть даны 2 R₊ числа XY,Х=m,m1,m2…mk… Y=n,n1,n2…nk..Число x<y.если m<n,или найдется такое к, что m=n,m1=n1,mk-1=nk-1,но уже mk<nk. В этом случае при s>k=Xs’ для х окажется небjльше приближ знач. Уs ,по недост. Хs<Ys,поэтому можно сказать что х<y в том и только том случаи когда найдется такое s что приближенное значение числа Xs’<Ys. 3)во мн-ве R нет наиб.и наим. эл, но снизу оно огран.0,а сверху не огран. 4)Мн-во R плотно,т.е. м/у любыми 2-мя R числами из мн-ва R лежит бескон-ое мн-во R чисел. 5)непрерывность. Во мн-ве R нет не только таких скачков как в мн-ве N чисел, но и таких щелей как во мн-ве Q чисел, т.е. мн-во R заполняет всю координат прямую без разрыва, т.е. во мн-ве R чисел и коорд.прямой сущ-ет взаимно однозначное соответствие. 6)мн-во R замкнуто, относ опер-и +,-.,*.,:. Множество R чисел называют числовой прямой. Геометрическая модель числовой прямой – координатная прямая. Т.о. каждая точка числовой прямой имеет одну координату (н-р: А(3), В (1/2),…). Расстояние от начала отсчета до точки (координаты числа) – модуль (|x|). Н-р: |x|= x, если x≥0 ; -x, если x<0. |-5|= -(-5)=5 ; |0|=0 ; |3,2|=3,2. Св-ва модулей: 1) |a|≥0 (модуль числа а всегда ≥0); 2) |a|=|-a| (модули противоположных чисел =); 3) |ab|=|a|*|b| (модуль * 2х чисел = модулям * этих чисел); 4) |a/b| = |a|/|b| (модуль : 2х чисел = частному модулей данных чисел); 5) |a|² = a² (квадрат модуля числа = квадрату самого числа); 6) |a+b|≤|a|+|b| (модуль + чисел ≤ сумме модулей чисел); 7) |a-b|≤|a|-|b| (модуль - чисел ≤ разности модулей чисел).

32. Числовые и буквенные выражения. Область определения выражения с переменной. Тождественные преобразования. Примеры тождеств. Числовые равенства и неравенства, их свойства.

Выражение – конечная последовательность знаков, символов, записанных в соответствии с определением всех содержащихся в ней операций. Числовое выраж. - запись,  из  чисел,  знаков арифмет. действий и скобок, составленную со смыслом. Число полученное в результате последовательно выполненных действий – значение числ.выраж. Правила выполнения действий: 1)если нет скобок – сначала действия II ступени (:,*), затем- I ступени (-,+); 2) если есть скобки – сначала действия в скобках, затем за ними по 1 принципу. Буквенное выраж. (выраж. с переменной) - запись, составленная из букв и знаков арифмет. действий, также в нее могут входить числа и скобки. Как и числовое выраж., выраж.с переменной должно быть составлено со смыслом. Переменная – буква, которая может принимать различные числовые значения. Область определения – множество значений переменных, при которых выраж. имеет смысл. Два числ выраж. считаются равными, если их значение совпадает. Два числ.выраж., соединенные знаком = - числовые равенства. Числ.равенство – высказывание (ложное или истинное). Св-ва: 1) рефлексивность: (ҰA)(A=A); 2) симметр: (ҰA,B) (A=B=>B=A); 3)транзит: (ҰA,B,C)(A=B и B=C => A=C). Т: Если к обоим частям истинного = прибавить число, то получим истинное = (Ұa,b,c) (a=b =>a+c=b+c). Д-во: 1) a+c= a+c (св-во рефлекс), 2)a=b (по усл) |=> a+c=b+c/ чтд. Т: если у обеих частей истин.числ.= вычесть одно и то же число, то получим истинное = (Ұa,b,c) (a=b =>a-c=b-c). Т: Если обе части ист.числ.= * на число, то истинное = (Ұa,b,c) (a=b =>ac=bc). Числ. Неравенство – два выражения соединенных знаком «<» или «>». Св-ва (1-3 строг порядка): 1) (Ұa)(a>a) – антирефлекс; 2) (Ұa,b)(a>b => b>a) – антисимметр; 3) (Ұa,b,c)(a>b, b>c => a>c) – транзит; 4) (Ұa,b)(a=b или a>b или a<b) – связности; 5) (Ұa,b)(a>b => a-b>0). Т: Если к обоим частям истинного ≠ прибавить число, то получим истинное ≠ (Ұa,b,c) (a>b =>a+c>b+c). Д-во: 1) a>b => a-b>0, 2)a-b+(c-c)>0 |=> a+c-c-b>0 => (a+c)-(b+c)>0 => a+c>b+c чтд. Т: если у обеих частей истин.числ ≠ вычесть одно и то же число, то получим истинное ≠ (Ұa,b,c) (a>b =>a-c>b-c). Т: Если обе части ист.числ.≠ * на число (>0), то истинное ≠ (Ұa,b,c) (a>b =>ac>bc). Т: Если обе части ист.числ.≠ * на число (<0), то получим истинное ≠, если поменяем знак на противоположный (Ұa,b,c) (a>b =>ac<bc). Тождество – раверства двух отличных по записи но имеющих одинаковое значение выраж., при любых значениях переменных из их области определения (н-р: (a-b)²/2 = (a-b)² : 2 – верное тождество). Тождественные преобразования – преобразование выраж. в другое, тождественно равное ему (н-р: a*a=a² – квадрат числа; a*a*a=a*a²=a³ – куб числа).