30. Понятие дроби. Арифметические действия с дробями, их свойства. Понятие рационального числа. Свойства множества рациональных чисел.

Истор появл дробей связано с измер величин. В мл.кл. ведение дробей связано со счетом и измер долями. Измер отрезка: возьмем отрезок а, в кач един длины - е. Но если разбить отрезок е на 4 части, кажд из кот е₁, то длина отрезка= 14е₁. е₁=е/4. Возвращ к е, видим что а=14 отрезков=1/4. Уссловимся что а=14/4*е, а символ 14/4 - дробь. Понятие дробь: Пусть даны е-един отрезка, а-отрез, причем е - сумма n-отрезков = е₁. Если а сост из m отрез=е, то его длина = m/n*e, где символ m/n –дробь. m-числитель, n-знаменатель, /-дроб черта замен делением. Виды обык дробей: прав (числ<знам), неправ (числ>знам). Всяк неправ дробь можно представить в виде суммы N числа и дроби, либо только дроби. Сумма N числа и дроби запис в виде без знака + (смеш числ). Всяк неправ дробь можно записать в виде смеш, либо в виде N числа (и наоборот). Равные дроби - если выраж длину данного и того же отрезка при ед длины е.Т: 2 дроби = когда произв числ 1 на знам 2 = произв числ2 на знам 1. (¥a,b,c,dϵN), a/b=c/d<=>ad=bc. Д-во:1. a/b=c/d=> ad=bc. . a/b=ad/bd,для ¥dϵN; и c/d=cb/db, для ¥bϵN => a/b=c/d=>ad=bc. 2. ad=bc=> a/b=c/d. раздел обе части ad=bc на bd, то получим a/b=c/d. чтд. Осн св-во дробей: Если числ и знам * или / на одно и то ж число, то получится дробь = данной (на этом св-ве основано сокращ дробей и приведение к одному знамен). Сокращ дробей - замена на друг = данной, но с меньшим числ и знам (т.е. более круп доли). Не всяк можно сократить (если числ и знам взаимно просты) - несократ. Привед к общ знам - замена = дробями, имеющ один знам (размельчение дробей). НОЗ a/b и c/d = bd. Рассмотрим отнош = дробей. Св-ва: рефлекс (любая дробь = себе), симметр (если 1 дробь = 2, то 2=1) , транзит (если a/b=b/c=m/n→a/b=m/n). И потому позволяет разбить множ всех обыкнов дробей на классы эквивал дробей. Итак для любого Q₊ числа сущ одна несокр дробь, явл записью этого числа. (+) О! Если Q₊ r₁=m/n и r₂=p/n, то сумма r₁ и r₂ назыв число представ дробью (m+p)/n. О! Если Q₊ r₁=m/n и r₂=p/q (n и q – прост взаим) назыв Q число r= (mq+pn)/nq. Т: Сумма люб 2 Q₊ чисел сущ и ед. Рассмотр «+» Q₊ позволяет считать, сто + чисел сводит по сущ к + N чисел=> обладает коммут и ассоц св-ом. Коммут: ¥r₁=m/n, r₂=p/qϵQ₊. r₁+ r₂= r₂+ r₁ (m,n,p,q ϵN). m/n+p/q=(mq+np)/nq и p/q+m/n = (pn+qm) /qn => т.к. …ϵN, то mq=qm,…=> r₁+ r₂= r₂+ r₁ чтд. Ассоц: (a/b+c/d) +m/n = a/b+ (c/d+m/n). Монотонность сложения: T: для люб а,b,c, если a>b, то a+c >b+c. Пусть a<b=> сущ kϵQ₊/ a+k=b. Прибавим к обеим частям равенства c: (a+k)+с= b+с => (a+с)+k=b+с => (по опред <: число a>b тогда и только тогда, когда сущ число с, что a+c=b) a+c < b+c чтд. «-» 2х Q чисел как и «-» N и «-» отрезков, т.е. обратна «+».О! (r₁-r₂) ϵQ₊ назыв такое прост число r, «+» кот с r₂=r₁. Т.е. r₁-r₂=r => r-r₁=r₂. Модно д-ть что если r₁>r₂, то (r₁-r₂) сущ и определ однозначно. Если r₁<r₂, то (r₁-r₂) не сущ и стремление к тому чтоб действие вычит всегда выполн, приводит к расшир множ Q₊ и образов Q. Пусть r₁=m/n, r₂=p/q, r₁>r₂ => r₁-r₂=m/n-p/q=(mq-np)/nq, если r₁-r₂=m/n-p/n=(m-p)/n, где m>p. r-0=r. Можно д-ть, что если Q₊ r₁=m/n – мера отрезка а, при ед e, и Q число r₂=p/q - мера отрезка b, при ед e, то их «-» - мера разности (a-b) при ед e. (*) пусть даны отрезки a,e,e₁, такие что a=11/3*e, e=6/3*e₁. Т.е. длина отрезка a при e₁ выражена числом 66/15*e₁, кот рассматр как произв 11/3 и 6/5. При * - переход к более мелкой ед измер. При : - переход к более крупной ед измер. О! Пусть Q₊ r₁=m/n и r₂=p/q, то их произв - число представ дробью (mp)/qn. Произв облад св-ми: коммут, ассоц, дистриб относит + и -: д-во: r₁=a/b, r₂=c/d, r₃=m/n. (r₁+ r₂)r₃= r₁r₃+ r₂r₃. (r₁+r₂)r₃=(a/b+c/d)*m/n =(ad+bc)/bn*m/n=(ad+bc)*m/bdn. r₁r₃= am/bn и r₂r₃= c/d*m/n=cm/dn =>r₁ r₃+ r₂r₃= am/bn+cm/dn=(amd+cmd)/bdn=(ad+cb)m/bdn, т.к. все ϵN=> (ad+cb)m/bdn=(ad+bc)* m/bdn. (r₁+ r₂)r₃= r₁r₃+ r₂r₃ чтд. Закон монотонности: T: для люб а,b,c, если a>b, то ac >bc. Пусть a<b=> сущ kϵQ₊/ ak=b. * обе части равенства на c: (a+k) с= bс => ak+сk=bс => (по опред <: число a>b тогда и только тогда, когда сущ число с, что a+c=b) ac < bc чтд. Частное 2х Q чисел опред так же как и частное 2х N чисел, т.е. как операция обрат *. О! Частное Q чисел r₁ и r₂ – такое Q число r, что r₁=r₂r. r₁:r₂=r  r₁=r₂r. Если r₁=m/n, r₂=p/q то m/n:p/q=m/n* q/p=mq/npю Д-во: по О! частного r₁=r₂r= p/q*mq/np=p(mq)/q(np) =m/n. Полученная формула показывает, что для любых Q₊ частное сущ, т.е. во множ Q₊ можно рассматр как частное 2х N чисел. Термин «Q число» произошел от лат «отношение», «частное». Св-ва Q₊. О! Пусть а и b ϵQ₊, тогда a<b, если сущ такое, cϵQ₊, что a+c=b. (¥a,b,cϵQ₊) a<b  (cϵQ₊)/a+c=b. В таком случае говорят, что b>a. Также как множ N можно док-то что отнош «<» на множ Q₊ обладает св-ми антисиммерт и транзит, т.е. явл отнош порядка Q₊, и поэтому множ Q₊ - упоряд множ. Заметим, что отнош порядка во множ Q₊ облад св-ми кот отлич его от отнош порядка во множ N: 1)во множ N есть наим число 1 и множ N – дискрет; 2)во множ Q₊ - нет ним числа. 3)м/у люб 2 числами заключено ∞ много чисел Q₊ (св-во плотности). Д-во: легко убедиться что m/(n-1) < m/n, т.к. mn<mn+m, т.е. нашлось такое Q₊ число, кот меньше, т.е. наше предпол не верно и во множ Q₊ нет наим числа. Чтд. 4)м/у любыми 2 числами сущ др Q₊. Д-во: Пусть даны (¥q,rϵQ₊) q<r. М/у ними сущ число, кот >q, но <r, и оно = (q+r)/2 (сред арифмет). 4) м/у Q числами q и (q+r)/2 можно так же указать числа = полусумме этих 2х. Т.е. м/у люб Q числами распол ∞ много Q чисел. Чтд. Множ Q₊ облад св-ми: 1) нет наим и наиб чисел, 2) огранич снизу 0, сверху неогран, 3)плотно, 4) бесконечно, 5) упорядоченно, 6) замкнуто относ «+», «*», «:», 7) множ Q₊ и Q – счетны (если эквивал множ N числ). Счетное множ – м/у ним и множ N можно установить соотв.Т: Множ неотр Q чисел счетно. Д-во: представим кажд Q число в виде дроби. Назовем высотой Q числа сумму числит и знам: н-р высоту 5 имеют Q числа: 1/4, 2/3, 3/2, 4/1. Q число 5 имеет высоту 6, т.к. его можно записать в виде 5/1. Q₊ более «богатое» чем N. Богатство заключ в возможности выполнения тех операций, кот не выполн во множ N (:).