Тема 1.7. Трансляция и системы трансляций (решетки бравэ)

Под трансляцией понимают преобразование пространства, состоящее в перемещении всех его точек по параллельным прямым в одну и ту же сторону на одно и то же расстояние.

В кристаллических или пространственных решетках транс­ляции проявляются либо в чистом виде, либо в виде сочета­ний с поворотами или зеркальными отражениями в плоско­сти.

В случае чистой трансляции элементом симметрии можно считать вектор, длина и направление которого указывают со­ответственно шаг и направление переноса.

Три некомпланар­ных трансляционных лектора а, b и c полностью определяют пространственную решетку и соответствующий ей примитив­ный параллелепипед повторяемости (т.е. параллелепипед повторяемости, в котором узлы пространственной решетки рас­положены только по вершинам).

Еще в 1855 г. известный французский кристаллограф О. Бравэ математическим путем доказал, что существует всего 14 типов пространственных решеток (названных позд­нее решетками Бравэ), отличающихся либо симметрией, либо формой или материальным содержанием своих так называе­мых элементарных ячеек.

В пространственной решетке существует бесконечное множество возможных параллелепипедов повто­ряемости и каждому из них отвечает своя тройка трансляционных векторов а_i, b_i и c_i. Однако для характеристики каж­дой решетки Бравэ в качестве ее элементарной ячейки выби­рается тот из параллелепипедов повторяемости, который имеет:

1) симметрию всей решетки,

2) максимальное число равных ребер и равных углов между ребрами,

3) максимальное число прямых углов между ребрами и

4) наименьший объем.

На основании теорем о том, что в пространственных решетках всегда есть трансляции, параллельные и перпендикулярные осям и плоскостям симметрии, и в соответствии с четырьмя вышеприведенными условиями можно выбрать элементарные ячейки (ячейки Бравэ) пространственных решеток всех сингоний.

Основное условие этого выбора – соответствие симметрии параллелепипеда повторяемости симметрии всей пространственной решетки – приводит к необходимости использования в качестве элементарных ячеек, наряду с примитивными, и непримитивных параллелепипедов повторяемости.

Доказано, что достаточно ограничиться в таких случаях непримитивными параллелепипедами повторяемости наименьшей сложности:

– объемноцентрированными, в которых узлы пространственной решетки расположены по вершинам и в центре объема;

– базоцентрированными, в которых узлы пространственной решетки расположены по вершинам и в центрах двух взаимно параллельных граней;

– гранецентрированными, в которых узлы пространственной решетки расположены по вершинам и в центрах всех граней.

Рис. 1.10. Типы ячеек Бравэ:

а – примитивная; б – объемноцентрированная; в – базоцентрированная; г – гранецентрированная.

В отличие от примитивной ячейки Бравэ, обозначаемой буквой Р (primitive), объемноцентрированная ячейка обозначается буквой I (inter), гранецентрированная – F (face), а базоцентрированные – A, В или С в зависимости от того, какие из ребер параллелепипеда повторяемости – а, b или с – не лежат в плоскости центрированной грани (рис. 1.10).

Типы ячеек Бравэ, свойственные пространственным решеткам разных сингоний, приведены в табл. 1.3.

Решеток Бравэ существует всего лишь 14, что обусловлено двумя причинами:

– ячейка Бравэ того или иного типа может противоречить самому принципу пространственной решетки той или иной сингонии (прочерки в табл. 1.3);

– ячейка Бравэ одного типа может быть замена ячейкой Бравэ другого типа посредством простого изменения системы координат (круглые скобки в табл. 1.3).

Таблица 1.3. Типы ячеек Бравэ пространственных решеток разных сингоний

Сингония	Решетка Бравэ
	примитивная	объемно-центрированная	базо- центрированная	гране- центрированная
Триклинная	Р	(I →P)	(А, В, С →Р)	(F →P)
Моноклинная	Р	(I →A, C)	А, С	–
Ромбическая	Р	I	А, В, С	F
Тригональная	Р	–	–	–
Тетрагональная	Р	I	(C →I )	(F →I )
Гексагональная	Р	–	–	–
Кубическая	Р	I	(A, В, C →F)	F

Помимо трансляций a, b, c, свойственных примитивным решеткам Бравэ, в объемноцентрированных решетках существует трансляция ½ (a+b+c), в базоцентрированных – ½ (a+b), ½ (a+c) или ½ (b+c), а в гранецентрированных – ½ (a+b), ½ (a+c) и ½ (b+c). Иными словами, решетка Бравэ, или трансляционная группа, – это совокупность трансляций элементарной ячейки пространственной решетки.

Характеристикой пространственного расположения узлов в решетке Бравэ является базис – совокупность выраженных в долях осевых трансляций координат всех ближайших к началу координат и не связанных этими трансляциями узлов ячейки Бравэ данной решетки. Поэтому базис примитивной решетки Бравэ – [[000]], объемноцентрированной – [[000; ½ ½ ½]], базоцентрированный – [[000, 0 ½ ½]] (А), [[000, ½ 0 ½]] (B) или [[000, ½ ½ 0]] (С), а гранецентрированной – [[000, ½ ½ 0, ½ 0 ½, ½ ½ 0]].

Особенностью решеток Бравэ является то, что они построены из полностью тождественных узлов.

В реальной кристаллической структуре с каждым узлом решетки Бравэ связана одна или несколько материальных частиц одинаковой или различной природы. Их совокупность называют мотивом решетки Бравэ данной кристаллической структуры.