Тема 1.2. Кристаллографические индексы узлов, узловых рядов и узловых плоскостей

Положения любых узлов, узловых рядов или узловых пло­скостей в пространственной решетке или кристаллографических направлений и плоскостей в кристаллической решетке относительно некоторых координатных осей (независимо от того, прямоугольные они или косоугольные, имеют одинаковые или разные осевые единицы) однозначно определяются кристаллографическими символами, т.е. некоторыми наборами кристаллографических индексов.

П од кристаллографическими индексами узла пространственной решетки понимают три числа m, n, p – его координаты, выраженные в осевых единицах. Совокупность этих чисел, записанную в двойных квадратных скобках [[mnp]], называют символом узла. Очевидно, что символ узла, расположенного в начале координат, – [[000]] (рис. 1.2).

Рис. 1.2. Кристаллографические символы некоторых вершин, центра объема и некоторых центров граней куба

Под кристаллографическими индексами направления понимают три взаимно простых целых числа u,v,w, пропорциональных координатам любых узлов или частиц, лежащих на данном ряде или направлении, измеренным в осевых единицах. Совокупность этих чисел, записанную в квадратных скобках [uvw], называют символом направления.

Для определения символа какого-либо направления необходимо:

1) мысленно перенести его параллельно самому себе в начало координат;

2) определить координаты любого узла или частицы, лежащих на этом направлении, приняв за единицы измерения соответствующие осевые единицы;

3) привести отношение найденных координат к отношению взаимно простых целых чисел.

Очевидно, что символами координатных осей X, Y и Z являются соответственно [100], [010], [001] (рис. 1.3).

Если требуется обозначить не отдельное направление, а совокупность всех кристаллографически эквивалентных направлений (т.е. непараллельных направлений с одинаковыми периодами идентичности), то кристаллографические индексы заключают в угловые скобки – <uvw>.

П од кристаллографическими индексами плоскости понимают три взаимно простых целых числа h,k,l, обратно пропорциональных числам осевых единиц, отсекаемых ею на координатных осях. Совокупность этих чисел, записанную в круглых скобках (hkl), называют символом плоскости.

Для определения символа какой-либо плоскости необходимо:

Рис. 1.3. Кристаллографические символы некоторых направлений куба

1) определить величины отрезков, отсекаемых ею на координатных осях, приняв за единицы измерения соответствующие осевые единицы;

2) составить отношение величин, обратных величинам этих отрезков;

3) привести полученное отношение к отношению взаимно простых целых чисел.

Очевидно, что у плоскости, параллельной какой-либо координатной оси, отсекаемый на этой оси отрезок равен бесконечности, а соответствующий кристаллографический индекс – нулю. Поэтому, например, плоскость, отсекающая на осях Х и Y по равному числу осевых единиц и параллельная оси Z, имеет символ (110) (рис. 1.4, а), а плоскость, пересекающая ось Х и параллельная осям Y и Z, – символ (100) (рис. 1.4, б). Плоскости, отсекающие на координатных осях по равному числу осевых единиц, имеют, очевидно, символ (111) (рис. 1.4, в).

Рис. 1.4. Кристаллографические символы некоторых плоскостей куба.

Если требуется обозначить не отдельную плоскость, а совокупность всех кристаллографически эквивалентных плоскостей (т.е. непараллельных плоскостей с одинаковыми межплоскостными расстояниями), то кристаллографические индексы заключают в фигурные скобки {hkl}.

Следует помнить, что в случае прямоугольной системы координат кристаллографические индексы плоскости и перпендикулярного к ней направления совпадают.

Кристаллографические индексы узлов, кристаллографических направлений и плоскостей могут быть и отрицательными числами; знак «минус» ставится над индексами: [[012]], [133], (101) и т.п.

Если хотя бы один из кристаллографических индексов является двузначным числом, то их отделяют друг от друга точками: [[10.1.1]], [0.11.12], (13.13.15) и т.п.

Кристаллографические индексы в символах читаются раздельно, например: [[012]] - «ноль, один с минусом, два»; [133] - «один, три, три с минусом»; (101) - «один с минусом, ноль, один с минусом» и т.п.

Символ узловой или кристаллографической плоскости (hkl) и символ лежащего в этой плоскости узлового ряда или кристаллографического направления [uvw] связаны соотношением

hu + kv + lw = 0. (1.1)

Оно справедливо и для других плоскостей, проходящих через ряд или направление [uvw].

Совокупность кристаллографических плоскостей, проходящих через одно направление, называют зоной плоскостей, их общее направление – осью зоны, а соотношение (1) – условием зональности.