Глава 2. Тепловое расширение твердых и жидких тел Основные понятия, законы и формулы
1. Для большинства тел вблизи 0°С существует температурный интервал, в пределах которого любой линейный размер тел изменяется по закону
, (2.1)
где l – длина или какой-либо линейный размер тела при температуре t, l0 – при 0°С, а – коэффициент линейного расширения при начальной температуре.
2. Если линейные размеры тела изменяются по закону (2.1), то для каждого сечения тела
, (2.2)
где S – площадь данного сечения при температуре t; S0 – при 0°С, ' – средний коэффициент увеличения площади. При небольших температурах с достаточной степенью точности можно считать, что '=2.
3. При увеличении линейных размеров по закону (2.1) объем тела меняется вследствие нагревания по закону
, (2.3)
где β – средний коэффициент объемного расширения. При небольших температурах β =3.
4. В случае теплового расширения тел их плотность изменяется по закону
(2.4)
где — плотность тела при температуре t; 0—плотность при 0°С.
Решение задач. Примеры
1. Решение задач о тепловом расширении тел целиком основано на применении одной из формул (2.1)—(2.4) к каждому состоянию нагреваемого тела. Если в задаче рассматривается не одно, а несколько тел, эти формулы записываются для каждого тела отдельно. Все вместе они образуют полную систему уравнений, решение которых позволяет найти искомую величину. В комбинированных задачах формулы теплового расширения являются лишь частью системы уравнений, описывающих данное явление; вторую часть, как правило, составляют формулы калориметрии и гидростатики. При составлении уравнений теплового расширения тел особое внимание нужно обратить на следующее.
а) В формулах (2.1)—(2.4) под l0, S0 и V0 подразумевают значения длины, площади и объема при 0°С, а не при начальной температуре тела, отличной от нуля; это связано с тем, что табличные коэффициенты линейного и объемного расширения определяются как изменения единицы длины или объема тела, взятого при 0°С, при нагревании на 1 град. Если за начальную температуру принять не 0°С, а произвольную температуру, относительное удлинение, рассчитанное на один градус, – коэффициент линейного расширения (а также и коэффициент объемного расширения) – в каждом случае будет разным и не таким, как при 0°С.
Чтобы найти связь между длинами (площадями, объемами) при температурах t1 и t2. нужно из уравнений
исключить t0. В результате получим:
или приближенно:
(2.5)
если пренебречь членами, содержащими в более высокой степени, чем первой. Практически такое приближение вполне оправдано, так как для большинства твердых тел очень мало.
Проводя вычисления в задачах на тепловое
расширение тел, нужно иметь в виду, что
и
если х<<1 и y<<1
использование этих формул значительно
облегчает вычисления и упрощает
математические выкладки. В частности,
при небольших температурах t,
таких, что βt <<1,
можно с достаточной степенью точности
считать, что плотность тел
≈ 0(1-
βt).
б) Формулы (2.2) и (2.3) справедливы как для сплошных тел, так и для тел, в которых имеется полость или отверстие.
2. Задачи на тепловое расширение тел удобнее решать по следующей схеме:
а) Для каждого теплового состояния каждого тела записать соответствующую формулу теплового расширения.
б) Если в задаче наряду с расширением тел рассматриваются другие процессы, сопутствующие расширению, – теплообмен, изменение гидростатического давления жидкости или выталкивающей силы, то к уравнениям теплового расширения надо добавить формулы калориметрии и гидростатики.
в) Выписать значения заданных величин и, проверив число неизвестных в полученной системе уравнений, решить ее относительно искомой величины.
Пример 1. Какую длину l0c и l0М при температуре 0°С должны иметь стальной и медный стержни, чтобы при любой температуре разность их длин составляла Δl=10 см? Коэффициент линейного расширения стали с=1.2·10-5 град-1, меди м=1.7·10-5 град-1.
Решение. Рассмотрим два тепловых состояния стального и медного стержней: при начальной температуре t0=0°С и при некоторой произвольной температуре t. Обозначим длину стального стержня при температуре t через lс, медного — через lм, тогда
(1)
(2)
Дополнительное условие позволяет записать:
в частности,
(3)
Вычитая из второго уравнения первое и раскрывая скобки, получим:
откуда с учетом соотношений (3) имеем:
Из этого и второго равенства (3) для искомых длин получаем:
Пример 2. Стальная и латунная полоски толщиной H=0.2 см каждая склепаны на концах так, что при температуре t1=20°С они образуют плоскую биметаллическую пластинку. Каков будет средний радиус изгиба биметаллической пластинки при t2=100°С? Коэффициенты линейного расширения стали и латуни равны с=1.2·10-5 град-1; л=1.9·10-5 град-1.
Р
ешение.
Так как коэффициенты линейного
расширения латуни и стали неодинаковы
(л>с),
то при нагревании биметаллической
пластинки латунная полоска удлинится
больше стальной и вся пластинка изогнется.
Если при температуре t1 длина средней линии латунной пластинки была равна t1л, при температуре t2- t2л, то, пользуясь приближенной формулой (2.5), можно записать:
(1)
где Δt= t2- t1 – приращение температуры.
Для стальной пластинки аналогично предыдущему получим:
поскольку приращение температуры здесь то же самое.
Чтобы определить средний радиус изгиба R, будем считать, что концы пластинок при деформации не смещаются относительно друг друга и толщина их настолько мала, что ее изменением при нагревании можно пренебречь по сравнению с изменением длины.
Как видно из чертежа (рис. 2.1), l2л и l2с связаны с радиусом изгиба R уравнениями:
(3)
(4)
где φ — угол между торцевыми поверхностями биметаллической пластинки.
Составленная система уравнений полностью отражает все условия задачи и позволяет определить искомую величину.
Решая уравнения (1)—(4) совместно относительно среднего радиуса R кривизны
биметаллической пластинки, получим:
Пример 3. Латунная шкала ртутного барометра выверена при 0°С. При температуре t1=20 °С барометр показывает давление р6=760 мм рт. ст. Каково истинное атмосферное давление ра при этой температуре? Расширением стекла пренебречь. Коэффициенты линейного расширения латуни и объемного расширения ртути соответственно равны α= 1.9∙10-5 град-1 и β=1.8∙10-4 град-1
Решение. Если шкалу барометра выверить при какой-либо температуре, например при 00С, то при всякой другой температуре его показания не будут соответствовать наружному давлению. Объясняется это тем, что с повышением температуры плотность ртути уменьшается и при неизменном атмосферном давлении высота столба ртути в барометрической трубке возрастает. Кроме того, шкала, по которой отсчитывают высоту столба, удлиняется и цена одного деления становится больше значения, указанного на шкале. Чтобы определить истинное давление, показание барометра нужно привести к той температуре, при которой его шкала выверена, — в данном случае к 0°С. Делается это сравнительно просто: находят число делений шкалы, в которые укладывается высота измеряемого ртутного столба, рассчитывают по формуле теплового расширения новую цену деления и по этим данным определяют действительную длину ртутного столба. Зная эту длину и плотность ртути при температуре измерений, можно вычислить и само атмосферное давление.
Если при температуре t 1= 20 °С ртуть в барометрической трубке достигла высоты h1 (n-го деления шкалы), то показания барометра равны:
(1)
где ρ1 – плотность ртути при температуре t1; l1 - цена одного деления шкалы. Так как расстояние l0 между двумя соседними рисками на шкале выверено и равно единице (1 мм) лишь при 0°С, то l1 будет больше цены деления l0, указанной на шкале.
Если коэффициент линейного расширения латуни равен α, то
и в единицах длины l0 высота ртутного столба при температуре t равна:
(2)
Так как по условию задачи атмосферное
давление не изменяется, то
и в то же время
,
откуда
(3)
где ρ0 – плотность ртути при 0°С; H0 – высота, на которую поднялся бы столб ртути при температуре 0°С, Плотность ртути
(4)
Из уравнений (1)—(4) получим:
Пример 4. При температуре t1=10 °С железная канистра вмещает V1=20 л бензина и оказывается наполненной целиком. На сколько изменится масса канистры с бензином, если ее внести в помещение, где температура равна t 2=30 °С? Коэффициенты объемного расширения железа и бензина βж=3.6∙10-5 град-1 и βб==10-3 град-1, плотность бензина ρ0=0.8 г/см3.
Решение. Вследствие теплового расширения канистры и бензина объем их при нагревании увеличивается. Коэффициент объемного расширения жидкостей всегда больше коэффициента объемного расширения твердых тел, поэтому при нагревании на одинаковое число градусов приращение объема бензина будет больше приращения объема сосуда и часть бензина из него выльется. Чтобы определить искомое изменение массы канистры с бензином, нужно вычислить массу бензина в канистре при начальной и комнатной температурах и из первого результата вычесть второй. Масса самой канистры при этом не изменится. Для нахождения массы бензина при указанных температурах необходимо найти его плотность при этих температурах, а также объем канистры.
Если при температуре t1 канистра и, следовательно, бензин имеют объем V1, а при температуре t 2 – объем V2, то
(1)
Плотность бензина при температурах t 1 и t2 соответственно равна:
(2)
(3)
Массы бензина в канистре при этих температурах равны:
(4)
Решая уравнения (1)–(4) совместно и пренебрегая членами, содержащими коэффициенты объемного расширения в степени выше первой, из-за их малости, получим:
Пример 5. В жидкости взвешивают стальной шарик. Первое взвешивание проводилось при температуре t1 и вес вытесненной жидкости оказался равным Р1; второе взвешивание провели при температуре t2 и вес вытесненной жидкости был равен Р2. Определите коэффициент объемного расширения жидкости, если коэффициент объемного расширения стали равен β.
Решение. Вследствие теплового расширения тел, взвешиваемых в жидкости, вес вытесненной жидкости при разных температурах будет разным. Он будет определяться плотностью жидкости при данных температурах и объемом тел, погруженных в жидкость. Если при температуре t1 в жидкость полностью погрузить шарик объемом V1, то вес вытесненной жидкости будет равен:
(1)
Плотность жидкости ρ1 и объем стального шарика V1 при температуре t1 могут быть выражены через их значения при 0°С:
(2)
(3)
где βж – коэффициент объемного расширения жидкости. Для температуры t2 мы имеем соответственно:
(4)
(5)
(6)
Решая уравнения (1)—(6) относительно βж, находим:
Члены, содержащие коэффициенты теплового расширения в степени выше первой, здесь отброшены из-за их малости.