4.2 Характеристики потоков заявок

Основные характеристики потока вызовов -ведущая функция потока, -параметр потока, -интенсивность потока.

Под параметром потока λ(t) в момент времени t понимается предел отношения вероятности поступления хотя бы одного вызова за время [t, t + τ) к длине этого отрезка времени τ при τ→0:

Параметр потока есть плотность вероятности наступления вызывающего момента в момент t. Тогда вероятность поступления одного и более вызовов за время [t, t + τ):

π1(t,t +τ) = λ(t)τ +O(τ), τ → 0

Для стационарного потока, вероятность поступления определенного числа вызовов за некоторый промежуток времени одна и та же и не зависит от месторасположения на оси времени этого промежутка. Следовательно, и плотность вероятности поступления вызовов стационарного потока, т. е. его параметр λ(t), есть величина постоянная, не зависящая от момента t, т. е. λ(t)=λ.

π1(t,t +τ) = λτ +O(τ), τ → 0

41

-Ведущая функции потока Λ(0, t) - математическое ожидание числа вызовов, поступающих в промежутке времени [0, t),

-Параметр потока λ(t) характеризует не поток вызовов, а поток вызывающих моментов, и эта характеристика относится не ко всему отрезку [0, t), а лишь к фиксированному моменту t.

-Интенсивностью стационарного потока называется математическое ожидание числа вызовов, поступающих в единицу времени.

42

4.3 Простейший поток вызовов

Простейшим потоком называется стационарный ординарный поток без последействия.

Математическая модель простейшего потока

Определим вероятности поступления точно k(k=0, 1, 2, ...) вызовов на отрезках времени [t0, t0+t): pk(t0, t0+t).

Будем рассматривать отрезок времени [t0, t0+t+τ), который можно представить состоящим из двух примыкающих друг к другу отрезков: [t0, t0+t+τ)=[t0,+t0+t)+[t, t+τ). Для того чтобы в течение отрезка [t0, t0+t+τ) поступило точно k событий, необходимо, чтобы за первый промежуток времени [t0, t0+t) поступило k, или k-1, ..., или k-i, ..., или 0 событий и соответственно за второй промежуток 0, или 1, ..., или i, ..., или k событий.

Введем обозначения:

pk(t0, t0+t+τ) - вероятность поступления точно k событий за отрезок времени [t0, t0+t+τ);

pk-i(t0, t0+t) - … k-i событий за первый отрезок времени [t0, t0+t); pi(t, t+τ) - … i событий за второй отрезок времени [t, t+τ).

Упростим обозначения как отрезков времени, так и вероятностей:

[t0, t0+t+τ) -> [t+τ);

[t0, t0 + t) -> [t);

[t, t+τ) -> [τ) и соответственно pk(t0, t0+t+τ) . pk(t+τ); pk-i(t0,t0+t).pk-i(t); pi(t, t+τ) . pi(τ).

43

Простейший поток является потоком без последействия. Поэтому независимыми являются события, заключающиеся в поступлении какого-либо числа вызовов за первый и второй промежутки времени, и вероятность поступления точно k вызовов

Таким образом, вероятность поступления точно k событий простейшего потока за отрезок времени t определяется формулой Пуассона.

44

При t→0 можно считать вероятностью того, что в промежуток времени t поступит хотя бы один вызов, равной:

pk≥1 = λ nt ,

а вероятностью того, что не поступит ни одного вызова, равной:

45