Добавил:

Student11 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный университет телекоммуникаций им. проф. М.А. Бонч-Бруевича

Предмет:

Математические модели в сетях связи

Файл:

Учебные пособия / ММвСС (2018) v3.pdf

Скачиваний:

195

Добавлен:

15.01.2020

Размер:

4 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 4041 / 5641 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 > Следующая >>>

2 Выпуклые функции

Выпуклое программирование - раздел нелинейного программирования, совокупность методов решения

нелинейных экстремальных задач с выпуклыми целевыми функциями и выпуклыми системами ограничений.

Функция выпукла, если для любых двух значений аргумента выполняется неравенство Йенсена

Φ(x,ψ ) = f (x) + ∑ψ jϕ j (x)

j =1 x*

Некоторые свойства выпуклой функции:

-дважды дифференцируемая функция выпукла тогда и только тогда, когда ее график лежит не ниже касательной, проведенной в любой точке интервала выпуклости; -дважды дифференцируемая функция выпукла, если ее вторая производная не отрицательна;

-если f(x) и g(x) выпуклы, то их линейна комбинация тоже выпуклая функция; -локальный минимум выпуклой функции является глобальным минимумом; -любая стационарная точка выпуклой функции является глобальным экстремумом;

181

3 Условия Каруша-Куна-Таккера (ККТ)

Выпуклое программирование - раздел нелинейного программирования, совокупность методов решения

нелинейных экстремальных задач с выпуклыми целевыми функциями и выпуклыми системами ограничений.

Пусть задана выпуклая функция нескольких

x* переменных

требуется найти экстремумы f(x) при заданных ограничениях:

∂Φ ( x ,ψ )

≥

∂xi

∂Φ ( x ,ψ )

= 0

∂xi

≥ 0

i = 1 n

∂Φ( x,ψ ) ≥ 0

выпуклые функции

ψ j ≥ 0

∂ψ j

∂Φ( x,ψ ) xi = 0

∂ψ j

j = 1 m

Необходимые и достаточные условия существование локального экстремума

Функция Лагранжа

x≥0; j=1 m

ϕj(x)=ϕj(x1,x2, xn)≤0;

ψ*=(ψ1*,ψ2*, ,ψn*)

множители Лагранжа

ϕj (x)

Функция

n переменной

f(x)= x [a,b]

∆

−абсолютнаяпогрешность

182

Численные методы оптимизации

Безусловная оптимизация

-функции одной переменной -функции нескольких переменных

Условная оптимизация

-функции нескольких переменных

183

1 Общий алгоритм численных методов

	Начало
	Ввод начальных
	условий
	Выбор следующего
	значения x
нет	Проверка
	сходимости
	да
	Останов

Численный метод представляет собой итерационную циклическую процедуру, на каждом цикле которой производится выбор нового значения переменной (согласно некоторому методу), вычисление

значения оптимизируемой функции и проверка критерия сходимости. Циклы повторяются, пока не

выполнен критерий сходимости.

184

2 Оптимизация функции одной переменной

		2.1 Прямой поиск
Заданы		Требуется найти экстремум
x* = arg min{f (x)}	или	f (x)
x
x* = arg max{f (x)}
x
2. Поиск экстремума

a	∆	b	n =	b−a
				∆

*	=argmin={f(xi)}, i=1 n	∆
x			1 переменной
		Функция
		f ( x) = x [a, b]
	xi	2 − абсолютная погрешность

185

2.2 Дихотомия

Заданы
x* = arg min{f (x)}						или
		x
x* = arg max{f (x)}
		x
2. Поиск экстремума							x
							x
	(b-a)/2-α				(b-a)/2+α
a		x2	(b-a)/2			b=x2	b x1
		x2	a=x1			x1
a		x2		a=x1		x1
b		x2		a=x1		b
b		x2	a=x1			b
		x2	a=x1
	b−a≤∆			x1			x2 = x1
		b−a≤∆	a	x	=	2	x2 = x1
				*		a + b

Требуется найти экстремум

f (x)

-Алгоритм поиска представляет собой много итерационную процедуру -На каждой итерации интервал поиска экстремума

сужается путем исключения правого (x2, b) или левого отрезка (a, x1)

-Правый отрезок исключается если f(x2)>f(x1) -Левый отрезок исключается если f(x1)>f(x2) -Итерации повторяются пока |b-a|> -результат x*=(a+b)/2

186

	2.3 Метод золотого сечения
Заданы		Требуется найти экстремум
x* = arg min{f (x)}	или	f (x)
x
x* = arg max{f (x)}

2. Поиск экстремума

d =d1 =

d d1

b=x2

dd1

1d−d1

−ϕ−1=0

=d2

=d−d1

=ϕ

=ϕ−1

ϕ= 2

=ϕ−1

1=0

5+1

=ϕ

−ϕ−

ϕ= 2

x1 = x2

a=x

b−a≤∆

x = x

a + b

b−a≤∆

		-Алгоритм поиска представляет собой много итерационную
		процедуру
		-На каждой итерации интервал поиска экстремума
		сужается путем исключения правого (x2, b) или левого
b	x1	отрезка (a, x1)
		-Правый отрезок исключается если f(x2)>f(x1)

		-Левый отрезок исключается если f(x1)>f(x2)
		-Итерации повторяются пока \|b-a\|>
		-результат x*=(a+b)/2
f (x)		=	x
			x2 + 2

x2 = x1

187

Метод золотого сечения (алгоритм)

Начало

f(x),

Нет

|b-a|>

Нет

Да

Да Останов

188

Метод золотого сечения (пример)

Часть рисунка с идентификатором отношения rId6 не найдена в файле.

Поиск минимума функции

точность 0,001 на интервале [-10;0]

Часть рисунка с идентификатором отношения rId6 не найдена в файле.

								Изменение интервала поиска по итерациям

							N	Нижняя граница интервала	Верхняя граница интервала	Ширина интервала
							0	-10,0000	0,0000		10,0000
							1	-6,1803	0,0000		6,1803
							2	-3,8197	0,0000		3,8197
							3	-2,3607	0,0000		2,3607
							4	-2,3607	-0,9017		1,4590
							5	-1,8034	-0,9017		0,9017
							6	-1,8034	-1,2461		0,5573
							7	-1,5905	-1,2461		0,3444
							8	-1,4590	-1,2461		0,2129
							9	-1,4590	-1,3274		0,1316
							10	-1,4590	-1,3777		0,0813
	Приближение к экстремуму						10	-1,4590	-1,3777		0,0813
	Приближение к экстремуму						11	-1,4279	-1,3777		0,0502
-10		-8	-6	-4	-2	0	12	-1,4279	-1,3969		0,0311
0							12	-1,4279	-1,3969		0,0311
0							13	-1,4279	-1,4087		0,0192
-0,05							13	-1,4279	-1,4087		0,0192
							14	-1,4206	-1,4087		0,0119
							14	-1,4206	-1,4087		0,0119
-0,1							15	-1,4161	-1,4087		0,0073
-0,1							15	-1,4161	-1,4087		0,0073
-0,15							16	-1,4161	-1,4115		0,0045
							17	-1,4161	-1,4133		0,0028

f(x)-0,2
							18	-1,4150	-1,4133		0,0017
							18	-1,4150	-1,4133		0,0017
-0,25							19	-1,4150	-1,4139		0,0011
							19	-1,4150	-1,4139		0,0011
							20	-1,4146	-1,4139		0,0007
-0,3							20	-1,4146	-1,4139		0,0007


-0,35
-0,35
-0,4							Результат x*=1,414; (20 итераций)
-0,4			X				Результат x*=1,414; (20 итераций)
			X

189

2.4 Метод чисел Фибоначчи

Заданы

lim Fn+1 =ϕ

n→∞ Fn

F	=	(	1+ 5	)n +(1−2 5 )n	=	ϕn −(−ϕ)n	формула Бине
			2
						2ϕ−1
n		5

2. Поиск экстремума

a	x2 d2	b=x2
a
	x2
a	b	x1

b		d1	a	=x1				d
		d1	a	=x1
	b−a≤∆	x2	x	= x	x1
		x2	x	= x	2
			1		2
		b−a≤∆	a		x	*	=	a + b
		b−a≤∆	a		x		=	2

		Требуется найти экстремум
		f (x)
x		-Алгоритм поиска представляет собой много итерационную
x		процедуру
		-На каждой итерации интервал поиска экстремума
		сужается путем исключения правого (x2, b) или левого
		отрезка (a, x1)
		-Правый отрезок исключается если f(x2)>f(x1)
		-Левый отрезок исключается если f(x1)>f(x2)
b	x1	-Итерации повторяются пока не выполнено заданное число
b		итераций

-результат x*=(a+b)/2

Функция 1 переменной f (x) h −величина шага

x2 = x1

190

Метод чисел Фибоначчи (алгоритм)

Начало

f(x), k=n-1

	K=1	Да
	K=1
Нет	Нет
Нет	>
	>
	Да	Останов

191

2.5 Метод квадратичной интерполяции
Заданы	Требуется найти экстремум
f (x)→ ~f (x)=a x2 +b x+c	f (x)

-Метод относится к группе методов аппроксимации -Идея метода состоит в том, чтобы аппроксимировать исследуемую функцию квадратичной функцией вида

~	( x)		~*		b
∂f		= 0
			x	= −
∂x					2a

f(α)=fα; f(β)=fβ; f(γ)=fγ	Для которой можно легко вычислить точу экстремума (минимума) из
	условия равенства нулю производной

Коэффициенты a, b, c могут быть вычислены, если известны значения функции в 3 точках, например α, β, γ.

a α 2 + b α + c = fα
	2	+ b β + c =	f β
a β
	2	+ b γ + c =	f γ
a γ

∆ = (α − β )( β − γ )(γ − α )

a=[(γ−β)fα+(α−γ)fβ+(β−α)fγ]/∆

b = [(β2 −γ 2 ) fα +(γ 2 −α2 ) fβ +(α2 −β2 ) fγ ]/ ∆

c = [βγ (γ −β) fα +γα(α −γ) fβ +αβ(β −α) fγ ]/ ∆

~*		1	(β 2 − γ 2 ) fα + (γ 2 −α 2 ) fβ + (α 2 − β 2 ) fγ	(*)
x	=	2
			(β − γ ) fα + (γ −α ) fβ + (α − β ) fγ

~x *

0) Перед первой итерацией выбирается стартовая точка x=A, в ней вычисляется значение функции f(A). Аргументу дается приращение h и вычисляется точка f(A+h) , если f(A+h)<f(A), то вычисляется третья точка f(A+2h), если f(A+h)>f(A), то третья точка вычисляется, как f(A-h).

192

Метод квадратичной интерполяции

1)Для полученных 3 точек, согласно (*) вычисляется значение экстремума аппроксимирующей функции.

2)Проверяется условие сходимости, например, по изменению значения функции, по отношению к ее значению на предыдущей итерации.

3)Если условие сходимости выполнено, то процесс останавливается и за результат x* принимается, x полученное на последней итерации.

4)Если условие сходимости не выполнено, то из 3 точек отбрасывается «наихудшая», а вместо принимается значение x и производится переход к п.1.

	~	(x)	~*	~*
A	f2	(x)	~*	~*
A			x2	~* A xn
				xn

A+h	~ *	~	(x)
	x1	f1

A+2h

~fn(x)

Часть рисунка с идентификатором отношения rId32 не найдена в файле.

f (x)

193

3 Оптимизация функция нескольких переменных

3.1 Покоординатный спуск

Пусть задана выпуклая функция нескольких x* переменных

Данный метод предполагает следующие шаги:

Часть рисунка с идентификатором отношения rId8 не найдена в файле.

1.Фиксируются все значения переменных кроме одной

2.Производится поиск экстремума по одной переменной одним из

известных методов

3.Найденное значение присваивается данной переменной и для поиска выбирается следующая переменная

4.После нахождения экстремумов по каждой из переменных

проверяется критерий сходимости. Если условие сходимости не

выполняется, то к 1, если выполняется, то полученные значения переменных и принимаются как искомый экстремум.

Данный метод может быть эффективен только при оптимизации относительно «простых» функций

Пример графика функции получен с помощью сервиса www.wolframalpha.com

194

<<< < Предыдущая 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 4041 / 5641 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Учебные пособия

#
15.01.20201 Мб160МиОСС. Части 1 и 2.pdf
#
15.01.20206 Мб116ММвСС (01.09.2016) v2.pdf
#
15.01.20204 Мб195ММвСС (2018) v3.pdf
#
15.01.20203 Мб206ММвСС. Учебное пособие. Часть 2.doc
#
16.06.20203 Мб436Парамонов А. И. Математические модели в сетях связи. Часть 1.pdf
#
16.06.20204 Мб408Парамонов А. И. Математические модели в сетях связи. Часть 2.pdf