- •Математические модели в сетях связи
- •Содержание
- •1. Развитие технологий и услуг связи
- •1.1 Показатели развития
- •1.2 Тенденции развития технологий и услуг
- •1.3 Развитие технологий М2М
- •2. Задачи моделирования
- •2.1 Задачи моделирования, предметная область
- •2.2 Пример моделей развития технологий и услуг
- •2.3 Иллюстрации (надежность сетей связи)
- •2.4 Задачи модели по уровням ВОС (OSI)
- •3. Сети связи
- •3.1 Состав сети связи
- •3.2 Структура сети связи
- •3.3 Узел связи
- •3.4 Линия связи
- •3.5 Пространственное разделение каналов
- •3.6 Частотное разделение каналов
- •3.7 Временное разделение каналов (формирование ИКМ)
- •3.8 Временное разделение каналов (формирование пакетов)
- •4. Математическое моделирование
- •Введение
- •4.1 Сеть связи как СМО
- •2 Сеть связи как СМО
- •2.1.4 Технические нормы на показатели функционирования сетей передачи данных Минкомсвязи
- •2.1.5 Показатели надежности (Минкомсвязи)
- •3. Модели систем массового обслуживания
- •Обозначения СМО по Кендаллу (Kendall’s notation)
- •4.2 Характеристики потоков заявок
- •4.3 Простейший поток вызовов
- •4.4 Другие виды потоков
- •4.5 Поток с простым последействием
- •4.6 Поток с ограниченным последействием
- •4.7 Поток Пальма, потоки Эрланга
- •2.4 Другие виды потоков
- •4.8 Случайный процесс, характеристики трафика как случайного процесса
- •4.9 Автокорреляционная функция
- •Пример реализаций простейшего, самоподобного и антиперсистентного потоков
- •5.2 Поток освобождений
- •Изменение нагрузки, ЧНН, концентрация нагрузки
- •Расчет нагрузки
- •7. Пропускная способность
- •9.2 Функция распределения времени ожидания
- •9.3 Среднее время ожидания
- •9.4 Формула Полячека-Хинчина
- •9.5 Частные случаи
- •10 Основные результаты
- •11 Сети СМО
- •Сети СМО
- •Сложение случайных чисел (справка)
- •Последовательность СМО
- •Пример
- •11.2 Объект измерений
- •11.3 Анализируемые параметры
- •11.4 План проведения измерений
- •11.5 Обработка результатов
- •11.5.1 Точечные оценки
- •11.5.2 Интервальные оценки
- •11.5.3 Доверительный интервал для вероятности
- •11.5.3 Гистограммы, функции распределения
- •11.5.4 Функция распределения
- •12.2 Общая структура имитационной событийной модели
- •12.4 Получение потока событий с заданными свойствами
- •Эмпирический закон распределения
- •13. Пример расчета пропускной способности
- •Порядок расчета
- •расчет необходимой пропускной способности
- •Вариант расчета для общего случая
- •Модели выбора структуры
- •14.2 Пути, маршруты, веса, длина пути
- •14.3 Некоторые определения
- •14.4 Матричные представления
- •14.5 Деревья, остов графа
- •Алгоритмы теории графов (задачи динамического программирования)
- •14.5 Структура с наименьшей протяженностью линий (задача поиска кратчайшего остова (SST) графа)
- •14.5 Пример алгоритма Краскала
- •14.5 Кратчайший остов (SST) графа (алгоритм Прима)
- •14.5 Пример алгоритма Прима
- •14.5 Пример алгоритма Прима (продолжение)
- •Размещение узла в сети связи
- •размещение центров графа
- •размещение центров графа
- •размещение медиан графа
- •размещение медиан графа
- •размещение узла в сети связи – поиск центра и медианы графа
- •Вычисление длин кратчайших путей между вершинами
- •Алгоритм Флойда-Уоршалла
- •Алгоритм Флойда-Уоршалла (нахождение всех кратчайших путей в графе)
- •Пример реализации алгоритма Флойда-Уоршелла на VB
- •Алгоритм Дейкстры (описание 2)
- •Алгоритм Дейкстры (пример)
- •Алгоритм Дейкстры (поиск кратчайшего пути)
- •Некоторые алгоритмы поиска путей
- •Приближенные решения
- •муравьиный алгоритм
- •муравьиный алгоритм
- •Задачи кластерного анализа
- •Кластерный анализ
- •Кластерный анализ
- •Алгоритм кластеризации FOREL
- •Алгоритм кластеризации k-средних
- •Пример кластеризации
- •Применение кластерного анализа для выбора структуры сети
- •3.3 Выбор координат базовой станции при произвольном законе распределения трафика по территории
- •4.4 Моделирование и реализация, публикации
- •Модели надежности сети связи
- •3.3 Модели надежности сети связи
- •Общие определения
- •Иллюстрации (надежность сетей связи)
- •3.5 Метод добавления-удаления (IE – inclusion-exclusion)
- •Имитационное моделирование (надежность)
- •Задачи прогнозирования
- •Оптимизация сети связи
- •1. Исходные данные
- •2. Свойства трафика
- •Задачи прогнозирования (примеры)
- •Задачи прогнозирования (примеры)
- •Ассоциативный метод
- •Результаты(пример)
- •Аналитические модели 1. Линейная регрессия
- •Миграция трафика
- •Миграция на примере ОТТ сервисов
- •Задачи оптимизации
- •2 Надежность сети связи
- •Аналитические методы оптимизации
- •Экстремумы функции
- •Безусловная оптимизация
- •Условная оптимизация
- •2 Выпуклые функции
- •3 Условия Каруша-Куна-Таккера (ККТ)
- •Численные методы оптимизации
- •1 Общий алгоритм численных методов
- •Покоординатный спуск (пример)
- •3.2 Метод Хука-Дживса (поиск по образцу)
- •Метод Хука-Дживса (пример)
- •3.3 Симплекс метод Нелдера-Мида (поиск по деформируемому многограннику)
- •Симплекс метод Нелдера-Мида (пример)
- •3.4 Комплексный метод Бокса (Условная оптимизация)
- •3.5 Метод штрафных функций (Условная оптимизация)
- •3.4 Некоторые другие методы оптимизации выпуклых функций
- •4 Стохастические методы
- •4.1 Слепой случайный поиск
- •4.2 Эволюционный метод (генетический алгоритм)
- •Генетический алгоритм
- •Генетический алгоритм (пример)
- •Случайные графы (модели сети беспроводной связи)
- •Случайные графы
- •Случайные графы
- •Изменение связности сети
- •Влияние числа узлов сети на дисперсию связности
- •Приоритетное обслуживание
- •Алгоритм распределения трафика
- •Оптимизация структуры сети
- •Расписание управления трафиком
- •Качество обслуживания
- •Постановка задачи
- •Модель расписания управления трафиком
- •Задача оптимизации расписания управления
- •Модель реакции трафика
- •Условия переноса трафика
- •Описание стоимости времени
- •Пример оптимизации расписания управления
- •Балансировка трафика
- •Балансировка трафика
- •(нечеткие методы)
- •(нечеткие методы)
- •1. Распределение случайной величины
- •Случайная величина
- •Распределение случайной величины
- •Примеры функций распределения случайной величины (1)
- •Примеры функций распределения случайной величины (2)
- •Плотность распределения случайной величины
- •Примеры плотности распределения (1)
- •Примеры – равномерное распределение (2)
- •Числовые характеристики случайной величины (1)
- •Числовые характеристики случайной величины (2)
- •Числовые характеристики случайной величины (3)
- •2. Некоторые распределения вероятностей
- •3. Численные методы оптимизации Ф1П
- •ОДУ (Справка)
- •4. Модель ВОС (OSI)
- •Модель взаимодействия открытых систем (ВОС)
- •4. Параметры некоторых кодеков
- •Параметры кодеков
- •5. Курсовые проекты
- •Задание на курсовое проектирование
3.4 Некоторые другие методы оптимизации выпуклых функций
Существует множество методов оптимизации функций их различных модификаций, в качестве примера можно привести следующие методы.
Безусловная оптимизация (Ф1П):
-метод касательных, метод Ньютона, метод квадратичной, кубической интерполяции, (аппроксимационныеметоды)
Безусловная оптимизация (ФНП):
-метод Хука-Дживса (поиск по образцу), -градиентные методы (метод наискорейшего спуска, сопряженных градиентов …)
Условная оптимизация (ФНП):
-комплексный метод Бокса; -метод штрафных функций
….
Многие методы реализованы в математических и прикладных пакетах программ, таких как: Mathcad, Matlab, MS Excel и др.
203
4 Стохастические методы
Целью разработки и использования данных методов является оптимизация невыпуклых функций.
Общего метода численной оптимизации невыпуклых функций не существует. Существуют лишь подходы, позволяющие на основании имеющихся сведений об оптимизируемой функции использовать те или иные
методы, позволяющие с достаточной уверенностью находить оптимальные (или приемлемые) решения.
Пусть задана невыпуклая функция нескольких x* переменных
Оптимизацию невыпуклых функций называют многоэкстремальной оптимизацией.
Примеры методов оптимизации:
-слепой случайный поиск
(поиск экстремума в заданной области путем проб в случайных точках
области);
-локальный случайный поиск
(поиск экстремума в заданной области путем проб в случайных точках,
сосредоточенных вокруг некоторой базисной точки с последующим переходом к другой базисной точке);
-мультистартовый метод
(многократный запуск метода поиска экстремума выпуклой функции из
различных стартовых точек);
-эволюционный метод (генетический алгоритм)
(метод имитирующий процесс эволюции, происходящий в живой
природе).
n
Часть рисунка с идентификатором отношения rId8 не найдена в файле.
Пример: функция Эккли
204
4.1 Слепой случайный поиск
Пусть задана невыпуклая функция нескольких x* переменных |
|
n |
|
|
||||||
слепой случайный поиск |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В заданной области поиска экстремума [a,b] по каждой из |
|
|
|
6 |
|
|
|
|||
переменных генерируется множество случайных чисел, |
|
|
|
4 |
|
|
|
|||
равномерно распределенных на интервале [a,b]. В каждой |
|
|
|
|
|
|
||||
из полученных точек вычисляется значение функции и |
|
|
|
2 |
|
|
|
|||
выбирается наименьшее (при минимизации функции). |
|
|
|
|
|
|
||||
Если ε =b∆−a - заданное значение абсолютной погрешности |
-6 |
-4 |
-2 |
0 |
2 |
4 |
6 |
|||
Относительная погрешность |
p=1 |
−(1−εn)N |
0 |
|||||||
|
|
|
-2 |
|
|
|
||||
Вероятность того, что в серии из N испытаний (точек), |
|
|
|
-4 |
|
|
|
|||
хотя бы одно попадет в область минимума равна |
|
|
|
-6 |
|
|
|
|||
|
ln(1 − p) |
|
|
|
|
|
|
|
||
N = |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
ln(1 − ε n ) |
|
Пример: Слепой случайный поиск, n=2 |
|
||||||
|
|
|
|
|
||||||
Тогда необходимое число испытаний N равно |
|
|
|
|
|
|
|
|||
x =ξ x(k) +(1−ξ)x(m) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
i |
i |
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
При p близкой к единице данный метод требует большого числа испытаний, что приводит к его редкому
применению в «чистом» виде.
205
4.2 Эволюционный метод (генетический алгоритм)
Пусть задана невыпуклая функция нескольких x* переменных |
n |
Генетический алгоритм
Предполагает имитацию процесса эволюции (различные реализации могут использовать различные приемы имитирующие этапы эволюционного процесса)
Например:
Допущения и ассоциации, -значения переменных (точка) – особь
-значение функции в точке характеризует приспособленность особи (выживаемость)
Шаг 1. Создание начальной популяции – множества особей, численность p ;
Шаг 2. Выбор «родителей». (полагаем, что для появления новой особи требуются наследственные признаки двух других особей). Выбор может производится различными способами, например, случайно
(панмиксия) (Напрмер особи k и m).
Шаг 3. Рекомбинация. Передача наследственных признаков потомку. Существуют различные способы реализации данного шага. Например, вектор переменных можно рассматривать как набор генов, при этом одноименные гены родителей объединяются со случайными коэффициентами:
ξ = 0 1 где xi = ζ xi случайное число
Шаг 4. Мутация. Случайное изменение наследственных признаков. Например: ς
|
Часть рисунка с идентификатором отношения rId15 не найдена в файле. |
где |
случайный коэффициент |
Шаг 5. Селекция. Новая особь помещается в популяцию, на место наименее приспособленной особи,
которая освобождая позицию («погибает»).
Сходимость. Процесс смены поколений повторяется пока на протяжении некоторого (заданного) |
|
числа поколений не будет происходить уменьшение (увеличение) значения целевой функции. |
206 |
|