- •Математические модели в сетях связи
- •Содержание
- •1. Развитие технологий и услуг связи
- •1.1 Показатели развития
- •1.2 Тенденции развития технологий и услуг
- •1.3 Развитие технологий М2М
- •2. Задачи моделирования
- •2.1 Задачи моделирования, предметная область
- •2.2 Пример моделей развития технологий и услуг
- •2.3 Иллюстрации (надежность сетей связи)
- •2.4 Задачи модели по уровням ВОС (OSI)
- •3. Сети связи
- •3.1 Состав сети связи
- •3.2 Структура сети связи
- •3.3 Узел связи
- •3.4 Линия связи
- •3.5 Пространственное разделение каналов
- •3.6 Частотное разделение каналов
- •3.7 Временное разделение каналов (формирование ИКМ)
- •3.8 Временное разделение каналов (формирование пакетов)
- •4. Математическое моделирование
- •Введение
- •4.1 Сеть связи как СМО
- •2 Сеть связи как СМО
- •2.1.4 Технические нормы на показатели функционирования сетей передачи данных Минкомсвязи
- •2.1.5 Показатели надежности (Минкомсвязи)
- •3. Модели систем массового обслуживания
- •Обозначения СМО по Кендаллу (Kendall’s notation)
- •4.2 Характеристики потоков заявок
- •4.3 Простейший поток вызовов
- •4.4 Другие виды потоков
- •4.5 Поток с простым последействием
- •4.6 Поток с ограниченным последействием
- •4.7 Поток Пальма, потоки Эрланга
- •2.4 Другие виды потоков
- •4.8 Случайный процесс, характеристики трафика как случайного процесса
- •4.9 Автокорреляционная функция
- •Пример реализаций простейшего, самоподобного и антиперсистентного потоков
- •5.2 Поток освобождений
- •Изменение нагрузки, ЧНН, концентрация нагрузки
- •Расчет нагрузки
- •7. Пропускная способность
- •9.2 Функция распределения времени ожидания
- •9.3 Среднее время ожидания
- •9.4 Формула Полячека-Хинчина
- •9.5 Частные случаи
- •10 Основные результаты
- •11 Сети СМО
- •Сети СМО
- •Сложение случайных чисел (справка)
- •Последовательность СМО
- •Пример
- •11.2 Объект измерений
- •11.3 Анализируемые параметры
- •11.4 План проведения измерений
- •11.5 Обработка результатов
- •11.5.1 Точечные оценки
- •11.5.2 Интервальные оценки
- •11.5.3 Доверительный интервал для вероятности
- •11.5.3 Гистограммы, функции распределения
- •11.5.4 Функция распределения
- •12.2 Общая структура имитационной событийной модели
- •12.4 Получение потока событий с заданными свойствами
- •Эмпирический закон распределения
- •13. Пример расчета пропускной способности
- •Порядок расчета
- •расчет необходимой пропускной способности
- •Вариант расчета для общего случая
- •Модели выбора структуры
- •14.2 Пути, маршруты, веса, длина пути
- •14.3 Некоторые определения
- •14.4 Матричные представления
- •14.5 Деревья, остов графа
- •Алгоритмы теории графов (задачи динамического программирования)
- •14.5 Структура с наименьшей протяженностью линий (задача поиска кратчайшего остова (SST) графа)
- •14.5 Пример алгоритма Краскала
- •14.5 Кратчайший остов (SST) графа (алгоритм Прима)
- •14.5 Пример алгоритма Прима
- •14.5 Пример алгоритма Прима (продолжение)
- •Размещение узла в сети связи
- •размещение центров графа
- •размещение центров графа
- •размещение медиан графа
- •размещение медиан графа
- •размещение узла в сети связи – поиск центра и медианы графа
- •Вычисление длин кратчайших путей между вершинами
- •Алгоритм Флойда-Уоршалла
- •Алгоритм Флойда-Уоршалла (нахождение всех кратчайших путей в графе)
- •Пример реализации алгоритма Флойда-Уоршелла на VB
- •Алгоритм Дейкстры (описание 2)
- •Алгоритм Дейкстры (пример)
- •Алгоритм Дейкстры (поиск кратчайшего пути)
- •Некоторые алгоритмы поиска путей
- •Приближенные решения
- •муравьиный алгоритм
- •муравьиный алгоритм
- •Задачи кластерного анализа
- •Кластерный анализ
- •Кластерный анализ
- •Алгоритм кластеризации FOREL
- •Алгоритм кластеризации k-средних
- •Пример кластеризации
- •Применение кластерного анализа для выбора структуры сети
- •3.3 Выбор координат базовой станции при произвольном законе распределения трафика по территории
- •4.4 Моделирование и реализация, публикации
- •Модели надежности сети связи
- •3.3 Модели надежности сети связи
- •Общие определения
- •Иллюстрации (надежность сетей связи)
- •3.5 Метод добавления-удаления (IE – inclusion-exclusion)
- •Имитационное моделирование (надежность)
- •Задачи прогнозирования
- •Оптимизация сети связи
- •1. Исходные данные
- •2. Свойства трафика
- •Задачи прогнозирования (примеры)
- •Задачи прогнозирования (примеры)
- •Ассоциативный метод
- •Результаты(пример)
- •Аналитические модели 1. Линейная регрессия
- •Миграция трафика
- •Миграция на примере ОТТ сервисов
- •Задачи оптимизации
- •2 Надежность сети связи
- •Аналитические методы оптимизации
- •Экстремумы функции
- •Безусловная оптимизация
- •Условная оптимизация
- •2 Выпуклые функции
- •3 Условия Каруша-Куна-Таккера (ККТ)
- •Численные методы оптимизации
- •1 Общий алгоритм численных методов
- •Покоординатный спуск (пример)
- •3.2 Метод Хука-Дживса (поиск по образцу)
- •Метод Хука-Дживса (пример)
- •3.3 Симплекс метод Нелдера-Мида (поиск по деформируемому многограннику)
- •Симплекс метод Нелдера-Мида (пример)
- •3.4 Комплексный метод Бокса (Условная оптимизация)
- •3.5 Метод штрафных функций (Условная оптимизация)
- •3.4 Некоторые другие методы оптимизации выпуклых функций
- •4 Стохастические методы
- •4.1 Слепой случайный поиск
- •4.2 Эволюционный метод (генетический алгоритм)
- •Генетический алгоритм
- •Генетический алгоритм (пример)
- •Случайные графы (модели сети беспроводной связи)
- •Случайные графы
- •Случайные графы
- •Изменение связности сети
- •Влияние числа узлов сети на дисперсию связности
- •Приоритетное обслуживание
- •Алгоритм распределения трафика
- •Оптимизация структуры сети
- •Расписание управления трафиком
- •Качество обслуживания
- •Постановка задачи
- •Модель расписания управления трафиком
- •Задача оптимизации расписания управления
- •Модель реакции трафика
- •Условия переноса трафика
- •Описание стоимости времени
- •Пример оптимизации расписания управления
- •Балансировка трафика
- •Балансировка трафика
- •(нечеткие методы)
- •(нечеткие методы)
- •1. Распределение случайной величины
- •Случайная величина
- •Распределение случайной величины
- •Примеры функций распределения случайной величины (1)
- •Примеры функций распределения случайной величины (2)
- •Плотность распределения случайной величины
- •Примеры плотности распределения (1)
- •Примеры – равномерное распределение (2)
- •Числовые характеристики случайной величины (1)
- •Числовые характеристики случайной величины (2)
- •Числовые характеристики случайной величины (3)
- •2. Некоторые распределения вероятностей
- •3. Численные методы оптимизации Ф1П
- •ОДУ (Справка)
- •4. Модель ВОС (OSI)
- •Модель взаимодействия открытых систем (ВОС)
- •4. Параметры некоторых кодеков
- •Параметры кодеков
- •5. Курсовые проекты
- •Задание на курсовое проектирование
Симплекс метод Нелдера-Мида (пример)
Пример поиска минимума функции Розенброка |
Шаги поиска экстремума из точки (3; 3) |
X |
|
X |
|
Часть рисунка с идентификатором отношения rId6 не найдена в файле. |
Часть рисунка с идентификатором отношения rId6 не найдена в файле. |
Результат (1,000; 1,002); 243 вычисления функции
199
3.4 Комплексный метод Бокса (Условная оптимизация)
Пусть задана выпуклая функция нескольких переменных |
n |
|||||
и ограничения в виде явных и неявных ограничений x* |
||||||
g (x) ≤ b |
|
j =1 m |
xc = |
1 ∑ xr |
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
j |
j |
|
|
|
|
|
|
|
i −1 |
r =1 |
|
||
(Данный метод представляет собой модификацию симплекс метода Нелдера-Мида, в отличии от последнего, поиск ведется с помощью многогранника, содержащего 2n вершин (комплекса))
Метод предполагает следующие шаги:
1. Подготовка. Задается стартовая точка x0, удовлетворяющая всем условиям ограничений. Остальные 2n-1 точек могут быть получены, например «случайным» выбором, с учетом явных ограничений xi=li+rnd*(ui-li), где rnd – случайное число от 0 до 1. После этого полученные точки проверяются на их соответствие неявным ограничениям, если точка xi не удовлетворяет неявным ограничениям, то она «подтягивается» к центру масс точек, удовлетворяющих всем ограничениям, т.е. пересчитывается, напримеркак xi=(xi+xc)/2, где xc центр масс.
x0 = 2n1−1 i=1
2.Оценка. Вычисляютсязначенияфункции в вершинахмногогранника. Находят «худшую» вершину xH.
3.Отражение. Относительно «наихудшей» точки определяетсяцентр тяжестипротивоположнойграни многогранника
|
2∑n−1(f (xi )− f ) |
|
|
1 |
2n |
σ = |
i=1 |
; |
f = |
∑f (xi ) |
|
2n |
|
||||
|
|
|
2n i=1 |
||
4.Выполняется попытка отражения наихудшей точки через найденный центр тяжести. В результате чего получают точку xR.
5.Проверка на допустимость точки xR. Если отраженная точка удовлетворяет явным и неявным ограничениям, то она включается в комплекс, а «наихудшая» точка xH исключается. Если xR не удовлетворяет явным ограничениям, то xR
присваивается ближайшее допустимое значение. После этого производится проверка на соответствие неявным ограничениям. Если условия неявных ограничений не выполняются, то точка xR «подтягивается» к центру масс xR=(xi+x0)/2 , и вновь выполняется проверка. При каждом «подтягивании» точки к центру масс проверяется критерий сходимости, в качестве которого обычно принимается величина среднеквадратического отклонения значения функции в точках комплексаи максимальноерасстояниемежду точками комплекса dm.
Cj (x) >0 j =1 m
200
6.Условие сходимости достигается, если σ и dm меньшенекоторыхзаданных величин.
3.5 Метод штрафных функций (Условная оптимизация)
Пусть задана выпуклая функция x* переменных |
n |
|
и ограничения в виде |
z(x)=f(x)+P(x); P(x)−штрафнаяфункция |
|
Метод заключается в замене исследуемой функции некоторой модифицированной функцией, которая в области допустимых значений близка к исходной функции, а вблизи области ограничений ее значение резко увеличивается.
m
P ( x) = r ∑
j =1
Например, z(x,r) = f (x)
1 |
; r > 0 |
C j ( x) |
m |
1 |
|
|
f (x) = x2; x > 2 |
||||||
+ r∑j=1 |
|
; |
|
|||||||
C j (x) |
|
|||||||||
|
|
Пример. |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
Часть рисунка с идентификатором отношения rId19 не найдена в файле. |
|||||
|
z(x, r) = x2 + r |
1 |
|
; |
|
|
||||
x − 2 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F
201
Метод штрафных функций (алгоритм)
Начало
Задать допустимую x0
r = r0
Найти min z(x) -> x**
|
Да |
Нет |
x** |
rk+1 = rk/10
x = x** |
Останов |
|
202