- •Математические модели в сетях связи
- •Содержание
- •1. Развитие технологий и услуг связи
- •1.1 Показатели развития
- •1.2 Тенденции развития технологий и услуг
- •1.3 Развитие технологий М2М
- •2. Задачи моделирования
- •2.1 Задачи моделирования, предметная область
- •2.2 Пример моделей развития технологий и услуг
- •2.3 Иллюстрации (надежность сетей связи)
- •2.4 Задачи модели по уровням ВОС (OSI)
- •3. Сети связи
- •3.1 Состав сети связи
- •3.2 Структура сети связи
- •3.3 Узел связи
- •3.4 Линия связи
- •3.5 Пространственное разделение каналов
- •3.6 Частотное разделение каналов
- •3.7 Временное разделение каналов (формирование ИКМ)
- •3.8 Временное разделение каналов (формирование пакетов)
- •4. Математическое моделирование
- •Введение
- •4.1 Сеть связи как СМО
- •2 Сеть связи как СМО
- •2.1.4 Технические нормы на показатели функционирования сетей передачи данных Минкомсвязи
- •2.1.5 Показатели надежности (Минкомсвязи)
- •3. Модели систем массового обслуживания
- •Обозначения СМО по Кендаллу (Kendall’s notation)
- •4.2 Характеристики потоков заявок
- •4.3 Простейший поток вызовов
- •4.4 Другие виды потоков
- •4.5 Поток с простым последействием
- •4.6 Поток с ограниченным последействием
- •4.7 Поток Пальма, потоки Эрланга
- •2.4 Другие виды потоков
- •4.8 Случайный процесс, характеристики трафика как случайного процесса
- •4.9 Автокорреляционная функция
- •Пример реализаций простейшего, самоподобного и антиперсистентного потоков
- •5.2 Поток освобождений
- •Изменение нагрузки, ЧНН, концентрация нагрузки
- •Расчет нагрузки
- •7. Пропускная способность
- •9.2 Функция распределения времени ожидания
- •9.3 Среднее время ожидания
- •9.4 Формула Полячека-Хинчина
- •9.5 Частные случаи
- •10 Основные результаты
- •11 Сети СМО
- •Сети СМО
- •Сложение случайных чисел (справка)
- •Последовательность СМО
- •Пример
- •11.2 Объект измерений
- •11.3 Анализируемые параметры
- •11.4 План проведения измерений
- •11.5 Обработка результатов
- •11.5.1 Точечные оценки
- •11.5.2 Интервальные оценки
- •11.5.3 Доверительный интервал для вероятности
- •11.5.3 Гистограммы, функции распределения
- •11.5.4 Функция распределения
- •12.2 Общая структура имитационной событийной модели
- •12.4 Получение потока событий с заданными свойствами
- •Эмпирический закон распределения
- •13. Пример расчета пропускной способности
- •Порядок расчета
- •расчет необходимой пропускной способности
- •Вариант расчета для общего случая
- •Модели выбора структуры
- •14.2 Пути, маршруты, веса, длина пути
- •14.3 Некоторые определения
- •14.4 Матричные представления
- •14.5 Деревья, остов графа
- •Алгоритмы теории графов (задачи динамического программирования)
- •14.5 Структура с наименьшей протяженностью линий (задача поиска кратчайшего остова (SST) графа)
- •14.5 Пример алгоритма Краскала
- •14.5 Кратчайший остов (SST) графа (алгоритм Прима)
- •14.5 Пример алгоритма Прима
- •14.5 Пример алгоритма Прима (продолжение)
- •Размещение узла в сети связи
- •размещение центров графа
- •размещение центров графа
- •размещение медиан графа
- •размещение медиан графа
- •размещение узла в сети связи – поиск центра и медианы графа
- •Вычисление длин кратчайших путей между вершинами
- •Алгоритм Флойда-Уоршалла
- •Алгоритм Флойда-Уоршалла (нахождение всех кратчайших путей в графе)
- •Пример реализации алгоритма Флойда-Уоршелла на VB
- •Алгоритм Дейкстры (описание 2)
- •Алгоритм Дейкстры (пример)
- •Алгоритм Дейкстры (поиск кратчайшего пути)
- •Некоторые алгоритмы поиска путей
- •Приближенные решения
- •муравьиный алгоритм
- •муравьиный алгоритм
- •Задачи кластерного анализа
- •Кластерный анализ
- •Кластерный анализ
- •Алгоритм кластеризации FOREL
- •Алгоритм кластеризации k-средних
- •Пример кластеризации
- •Применение кластерного анализа для выбора структуры сети
- •3.3 Выбор координат базовой станции при произвольном законе распределения трафика по территории
- •4.4 Моделирование и реализация, публикации
- •Модели надежности сети связи
- •3.3 Модели надежности сети связи
- •Общие определения
- •Иллюстрации (надежность сетей связи)
- •3.5 Метод добавления-удаления (IE – inclusion-exclusion)
- •Имитационное моделирование (надежность)
- •Задачи прогнозирования
- •Оптимизация сети связи
- •1. Исходные данные
- •2. Свойства трафика
- •Задачи прогнозирования (примеры)
- •Задачи прогнозирования (примеры)
- •Ассоциативный метод
- •Результаты(пример)
- •Аналитические модели 1. Линейная регрессия
- •Миграция трафика
- •Миграция на примере ОТТ сервисов
- •Задачи оптимизации
- •2 Надежность сети связи
- •Аналитические методы оптимизации
- •Экстремумы функции
- •Безусловная оптимизация
- •Условная оптимизация
- •2 Выпуклые функции
- •3 Условия Каруша-Куна-Таккера (ККТ)
- •Численные методы оптимизации
- •1 Общий алгоритм численных методов
- •Покоординатный спуск (пример)
- •3.2 Метод Хука-Дживса (поиск по образцу)
- •Метод Хука-Дживса (пример)
- •3.3 Симплекс метод Нелдера-Мида (поиск по деформируемому многограннику)
- •Симплекс метод Нелдера-Мида (пример)
- •3.4 Комплексный метод Бокса (Условная оптимизация)
- •3.5 Метод штрафных функций (Условная оптимизация)
- •3.4 Некоторые другие методы оптимизации выпуклых функций
- •4 Стохастические методы
- •4.1 Слепой случайный поиск
- •4.2 Эволюционный метод (генетический алгоритм)
- •Генетический алгоритм
- •Генетический алгоритм (пример)
- •Случайные графы (модели сети беспроводной связи)
- •Случайные графы
- •Случайные графы
- •Изменение связности сети
- •Влияние числа узлов сети на дисперсию связности
- •Приоритетное обслуживание
- •Алгоритм распределения трафика
- •Оптимизация структуры сети
- •Расписание управления трафиком
- •Качество обслуживания
- •Постановка задачи
- •Модель расписания управления трафиком
- •Задача оптимизации расписания управления
- •Модель реакции трафика
- •Условия переноса трафика
- •Описание стоимости времени
- •Пример оптимизации расписания управления
- •Балансировка трафика
- •Балансировка трафика
- •(нечеткие методы)
- •(нечеткие методы)
- •1. Распределение случайной величины
- •Случайная величина
- •Распределение случайной величины
- •Примеры функций распределения случайной величины (1)
- •Примеры функций распределения случайной величины (2)
- •Плотность распределения случайной величины
- •Примеры плотности распределения (1)
- •Примеры – равномерное распределение (2)
- •Числовые характеристики случайной величины (1)
- •Числовые характеристики случайной величины (2)
- •Числовые характеристики случайной величины (3)
- •2. Некоторые распределения вероятностей
- •3. Численные методы оптимизации Ф1П
- •ОДУ (Справка)
- •4. Модель ВОС (OSI)
- •Модель взаимодействия открытых систем (ВОС)
- •4. Параметры некоторых кодеков
- •Параметры кодеков
- •5. Курсовые проекты
- •Задание на курсовое проектирование
Безусловная оптимизация
Пусть задана функция нескольких |
x* переменных |
n |
1. Необходимые условия существование локального экстремума (НУ)
В точке |
∂f(x) |
|
= |
∂f(x) |
x*= = |
∂f(x) |
|
=0 |
∂x1 |
x* |
∂x1 |
∂xn |
x* |
может иметь место экстремум тогда, когда она дифференцируема в данной точке и все частные производные функции в этой точке равны нулю.
d 2 f (x) = ∑∑∂ |
2 |
f (x) |
|
|
*∆xi∆xk = ∑∑aik ∆xi∆xk |
|||||||||
n n |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
n |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
i=1 k=1 |
∂xi∂xk |
|
x |
|
i=1 k=1 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
∂f(x) |
|
x*= |
∂f(x) |
|
∂f(x) |
|
x*=0 называется стационарной точкой. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Если эти условия выполняются, то точка |
∂x1 |
|
∂x1 |
|
x*= =∂xn |
|
||||||||
2. Достаточные условия существования локального экстремума (ДУ)
Пусть для функции f(x) в точке x* выполняются ДУ и она имеет вторые смешанные производные в этой точке.
Когда второй дифференциал f(x)
|
|
∂ 2 f ( x) |
∂ 2 f ( x) |
|
|
∂x12 |
∂x1∂x2 |
ai k = |
|
∂ 2 f ( x) |
∂ 2 f ( x) |
|
∂x2 ∂x1 |
∂x22 |
|
|
|
|
|
|
|
∂ 2 f ( x) |
∂ 2 f ( x) |
|
|
∂xn ∂x1 |
∂xn ∂x2 |
∂ 2 f ( x)
∂x1∂xn
∂ 2 f ( x)
∂x2 ∂xn
∂2 f ( x)
∂xn2
-есть отрицательно определенная квадратичная форма, то в точке x* имеет место максимум, -есть положительно определенная квадратичная форма, то в точке x* имеет место минимум
177
Квадратичная форма является положительно определенной, если все собственные
значения матрицы aik положительны, и отрицательно определенной если все эти собственные значения отрицательны.
Если собственные значения отрицательны матрицы aik имеют разные знаки то экстремума в данной точке нет.
∂2∂fx1(2x) −λ
∂2 f (x)
∂x2∂x1
∂2 f (x)
∂xn∂x1
∂2 f (x)
∂x1∂x2 ∂2∂fx(2x) −λ
2
∂2 f (x)
∂xn∂x2
|
|
∂2 |
f (x) |
|
|
|
|||
|
|
||||||||
|
|
∂x ∂x |
n |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|||||
|
|
∂2 |
1 |
|
|
|
|||
|
|
f (x) |
|
= 0 Гессиан f(x) |
|||||
|
∂x2∂xn |
|
|||||||
|
|
|
|||||||
|
∂2 |
f |
|
|
|
|
|
||
|
(x) |
|
−λ |
|
|
||||
|
∂xn2 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
||||
Собственные значения можно найти как корни уравнения
Φ(x,ψ) = f (x)+∑m ψiϕi (x)
i=1
178
Условная оптимизация
Математическое программирование - это область математики, разрабатывающая теорию, численные методы
решения многомерных задач с ограничениями. В отличие от классической математики, математическое
программирование занимается математическими методами решения задач нахождения наилучших вариантов из всех возможных.
1 Метод множителей Лагранжа
Пусть задана функция нескольких |
x* переменных |
n |
требуется найти экстремумы f(x) при заданных ограничениях:
ψi
1. Необходимые условия существование локального экстремума (НУ)
Функция Лагранжа |
|
)=0; |
i= |
1 m |
|
|
|
|||||||||||||
ϕ |
(x) |
|
|
=ϕ |
(x,x |
2 |
, x |
n |
ψ*=(ψ1*,ψ2*, ,ψn*) множители Лагранжа |
|||||||||||
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
Если ∂f∂(x) |
|
= |
∂f∂(x) |
|
x |
*= =∂∂f(x) |
|
x |
*=0 |
является локальным экстремумом, то существует вектор |
Φ' |
(x* ,ψ * ) = 0 |
||||||||
* |
|
|
||||||||||||||||||
|
x1 |
x |
|
x1 |
|
xn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
такой, что |
Φ'x (x,ψ ) = f ' (x) +∑ψiϕ' (x) |
|
|
||
i=1
где f ( x)
179
1. Достаточные условия существование локального экстремума (ДУ)
Если ϕi (x) и (Φ'xx' (x*,ψ*)h,h)>0 |
дважды дифференцируемы в точке x* |
|
|
и в этой точке выполняются ДУ и условия |
|
|
|
(Φ'xx' (x* ,ψ * )h, h)< 0 или |
(ϕi' (x*)h, h)=0 |
i =1 m |
|
При всех ненулевых h, удовлетворяющих условиям |
|
|
|
|
m |
|
|
Φ'xx' |
( x* ,ψ * ) = f '' ( x) + ∑ψ iϕi'' ( x) |
|
|
i =1
То x* строгий локальный минимум (максимум) f(x) при заданных ограничениях.
f (t x +(1−t) y) ≤t f (x) +(1−t) f (y)
Где |
t 0 1 x ≠ y |
|
180