9.2 Функция распределения времени ожидания
Пусть p(W>t) - вероятность того, что вызов, поступивший в произвольный момент времени, попадет на ожидание и время ожидания будет больше t;
pi(W>t) условная вероятность того же неравенства в предположении, что вызов поступит в момент времени, когда система находится в состоянии i,
pi вероятность того, что система находится в этом состоянии, т. е. в системе имеется точно i обслуживаемых и ожидающих вызовов.
В рассматриваемой системе обслуживания поступившая заявка попадает на ожидание лишь в случае, когда в момент поступления в системе заняты все устройства и на ожидании находится r=0, 1, 2,... заявок, т. е. система находится в одном из состояний i=v, v+1, v+2,...,
По формуле полной вероятности
∞
p(W > t)= ∑pi pi (W > 0)
i=v
Найдем вероятность pi(W>t) . |
|
|
-Если система находится в состоянии i (i ≥ v), то непосредственно перед моментом |
|
|
поступления заявки в системе на ожидании находится (i-v) заявок. |
|
|
-Поступившая заявка становится в очередь и является в очереди (i – v + 1) -й. (заявки |
|
|
снимаются с очереди для обслуживания в порядке поступления «первым пришел - первым |
|
|
обслуживается»), |
|
|
-Вероятность pi(W > t) есть вероятность того, что за время t после момента поступления |
|
|
рассматриваемой заявки будет снято с ожидания и переведено на обслуживание не более |
69 |
|
(i - v) заявок. |
||
|
-Исходя из этого, вероятность pi(W > t) соответствует вероятности того, что за время t произойдет освобождение (закончится обслуживание) не более (i - v) заявок.
-Длительность обслуживания одной заявки Т (без учета времени ожидания) распределена по показательному закону.
p(T > t)=1−e−β t
Функция распределения промежутков между моментами освобождения линий пучка при условии занятости в пучке всех v линий
F(t) =1−e−β v t
Поток освобождений - простейший поток c параметром которого λ=βv.
Тогда вероятность pj того, что за время t произойдет освобождение точно j линий, согласно формуле Пуассона составляет а вероятность того, что за время t произойдет не более (i-v) освобождений, если система находится в состоянии i,
|
i−v |
i−v |
|
j |
|
|
|
|
pi (W > t)= ∑pj = ∑(βvt) |
e−βvt |
|
||||||
|
j=0 |
j=0 |
j! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
pD (W > t)= |
p(W > t) |
|
= e−β (v−y )t |
|||
p(W > t)= p(W > 0) e−β (v−y )t |
||||||||
|
p(W > 0) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||
70
9.3 Среднее время ожидания
По определению функции распределения
|
|
∞ |
dp(W |
< t) |
∞ |
dp(W |
> t) |
p(W > 0) |
|
|
|
1 |
||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
W = ∫t |
|
dt = −∫t |
|
dt = |
|
|
WD = |
|
||||||
dt |
dt |
β(v − y) |
β(v − y) |
|||||||||||
0 |
|
0 |
|
|
|
|
||||||||
Средняя длина очереди
L =W y
71
9.4 Формула Полячека-Хинчина
Время ожидания начала обслуживания (для всех заявок)
|
|
|
1 |
|
y2 |
σ |
2 |
|
|||
|
|
|
|
||||||||
W = |
|
|
|
|
1 |
+ |
|
t |
|
||
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
λ |
2(1 |
|
|
t |
|
|||
|
|
|
− y) |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
σ |
2 |
|
||
|
|
|
y t |
|
|
|
y t |
||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||
W = |
|
|
|
|
ε = |
|
|
|
|
1 |
+ |
|
t |
|
|||
2(1− y) |
2(1− y) |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
t |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
72