Пример 4

В квантовой статистической теории газа из фермионов – частиц с полуцелым спином (электроны, нуклоны, атомы и др.), требуется вычислить интеграл

, .

Выполняется

. (П.2.19)

Доказательство

Замена дает

.

Используем

,

получаем

.

Функцию разлагаем в ряд Маклорена

,

при находим

.

Подстановка в интеграл дает

.

Используем (4.8)

при , , и получаем

.

В результате

.

Сумма выражается через дзета-функцию (см. пример в учебнике)

, (П.2.21)

тогда получаем (П.2.19)

.

При в интеграле

заменяем

, ,

, ,

, ,

и находим

,

где использовано

,

в результате

. (П.2.20)

89