Интеграл с тригонометрическими функциями
В (4.1)
,
заменяем
,
,
,
,
и для произведения гамма-функций получаем
.
Рассматриваем
переменные p
и q
как декартовы координаты на плоскости
.
Переходим к полярным координатам
,
,
,
.
Пределы
изменения
соответствуют пределам
и
.
В результате получаем
.
В
первом интеграле замена
дает
,
В результате находим
.
(4.10)
Гамма-функция полуцелого аргумента
В
(4.10) полагаем
,
получаем
,
и
с учетом
находим
.
В рекуррентном соотношении
берем последовательно
,
получаем
,
,
.
В рекуррентное соотношение
подставляем
,
находим
.
Для
последней гамма-функции продолжаем
использовать рекуррентное соотношение,
последовательно уменьшая аргумент на
единицу вплоть до значения
,
и получаем
.
Упрощаем
.
Числитель из n сомножителей преобразуем
.
Находим
.
(4.11)
Из
(4.11) при
следуют частные значения, полученные
ранее.
Бета-функция
Определяется в виде
(4.13)
Связь с гамма-функцией
В (4.13) заменяем аргумент
,
,
,
,
;
,
,
получаем
.
Сравниваем с (4.10)
,
находим
.
(4.14)
Замена
в (4.14) дает
.
(4.15)
Интеграл со степенными функциями
В
(4.14) заменяем аргумент
:
,
,
,
,
,
,
,
заменяем параметры
,
,
получаем
.
(П.2.3)
Формула
удвоения
Из (4.13)
при
,
где
.
График
симметричен относительно
,
область интегрирования в последнем
интеграле отмечена штриховкой.
В интеграле
заменяем аргумент
,
,
,
,
,
,
,
получаем
,
(4.15а)
где учтены (4.13)
.
Из (4.14)
.
находим
,
.
Подставляем в (4.15а), и получаем формулу удвоения
.
(4.16)
Формула дополнения
Из (4.10)
при
,
получаем
.
(4.18а)
Подынтегральную функцию сводим к степенной функции заменой
,
,
,
,
,
,
.
Находим
.
В последнем равенстве использован справочный интеграл. В результате
.
(4.18)
В
(4.18) замена
с учетом
дает
.
(4.19)
В
(4.18) замена
с учетом
дает
.
(4.20)
В (4.20) используем
,
получаем
.
(4.21)
В (4.20) учитываем
,
находим
.
(4.22)
Гамма-функция отрицательного полуцелого аргумента
Из (4.18)
при
,
используем
,
получаем
.
Учитываем (4.11)
,
находим
.
(4.17)
Частные
результаты при
,
и
:
,
,
.