Формула Стирлинга

Факториал с большим аргументом вычисляется по формуле

, . (4.23)

Результат получил шотландский математик Стирлинг в 1730 г.

Джеймс Стирлинг (1692–1770)

Для доказательства (4.23) используем (4.7)

.

Интеграл вычисляем по формуле Лапласа.

Асимптотическая формула Лапласа

В пределе выполняется приближенная формула

, (4.24)

где – положение максимума ; . Формулу получил французский астроном, математик и физик Лаплас.

Пьер Лаплас (1749–1827)

Доказательство

Если , то сильно изменяется даже при малой вариации . Поэтому главный вклад в интеграл

вносит область t около максимума , находящегося в точке . Условия максимума

, .

Разлагаем в ряд Тейлора около точки , и оставляем первые три слагаемые

.

Если положение максимума находится далеко от концов области интегрирования , то они не вносят заметного вклада в интеграл, поэтому полагаем

, .

В результате

,

где заменен аргумент . Используем интеграл Пуассона (4.9а)

,

где и получаем формулу Лапласа (4.24)

.

Доказательство формулы Стирлинга

. (4.23)

Используем

,

где учтено

,

,

.

Интеграл

сравниваем с формулой Лапласа (4.24)

, ,

тогда

, , , ,

получаем

, (4.24а)

где

.

Находим положение максимума из условия , где

,

тогда

,

,

,

,

,

.

Из (4.24а) получаем формулу Стирлинга

.

Учет большего числа членов разложения в ряд Тейлора дает поправки

. (4.26)

Пример 1

Доказать

, . (П.2.5)

Линейное слагаемое в показателе экспоненты (П.2.5) устраняется заменой

,

тогда

,

и при

находим

,

.

Интеграл получает вид

.

Используем интеграл Пуассона (4.9а)

,

получаем (П.2.5).

Пример 2

Фурье-образ функции Гаусса

Выполняется

,

в явной форме

. (П.2.6)

При получаем

.

Следовательно, функция Гаусса инвариантна при преобразовании Фурье.

Доказательство (П.2.6)

Используем (П.2.5)

,

с параметрами

,

,

,

и получаем (П.2.6).

Пример 3

В квантовой статистической теории газа из бозонов – частиц с целым спином (фотоны, фононы, атомы и др.), требуется вычислить интеграл

, .

Выполняется

, (П.2.16)

где дзета-функция

(П.2.17)

введена Леонардом Эйлером. Частные значения:

, ,

, ,

, . (П.2.18)

Результат получен ранее на практическом занятии путем разложения в ряд Фурье функции на интервале (–1,1).

Доказательство (П.2.16)

Интеграл

упрощаем заменой , получаем

.

Преобразуем интеграл к виду гамма-функции

.

С учетом

получаем

.

Функцию разлагаем в ряд Маклорена

.

При находим

.

Подстановка в интеграл дает

.

Используем (4.8)

.

При , получаем

.

В результате

.

С учетом

,

доказано равенство (П.2.16)

.