Гамма- и бета-функции эйлера

Гамма-функция Г(x) и бета-функция В(x) используются во множестве математических и физических задач и формул. Гамма-функция является обобщением факториала

, ,

на случай дробного и/или отрицательного n.

Гамма-функция

. (4.1)

Функцию исследовал Леонард Эйлер в 1730 г. Сходимость интеграла на верхнем пределе обеспечивает функция . Сходимость на нижнем пределе зависит от величины z. При целом отрицательном и нулевом z интеграл расходится.

Анализ интеграла

Область интегрирования разбиваем на участки и

,

где

, .

1. Функция конечна при любых z.

Доказательство

На верхнем пределе убывает с ростом t быстрее любой степенной функции, и интеграл сходится при любых z.

На нижнем пределе интеграл конечен при любых z

2. Функция имеет полюса первого порядка при

Доказательство

Под интегралом разлагаем в ряд Маклорена

,

получаем

При положительном используем , тогда

– конечное,

где учтено

.

При отрицательном , где ; , для

Получаем

.

Слагаемое дает полюс первого порядка, остальные слагаемые конечные и ими пренебрегаем вблизи полюсов, тогда

, (4.3)

, (4.4)

где

Доказательство (4.4)

Используя (4.3), получаем:

.

График гамма-функции

В точках находятся полюса первого порядка. Далее будут доказаны значения для ряда точек на рисунке:

,

,

,

,

.

Рекуррентное соотношение

В рекуррентном соотношении, от лат. recurro – «возвращаться», рассматриваемая функция встречается два и более раз.

Интегрируем (4.1)

по частям, полагая:

, ,

, .

Слагаемое uv равно нулю на обоих пределах при . Слагаемое сводится к гамма-функции

.

При получаем рекуррентное соотношение

. (4.5)

Связь с факториалом

Используем

,

из (4.5) находим:

при , ;

при , ;

при , ;

по индукции

.

В результате

, (4.6)

. (4.7)

Интегралы, выражающиеся через гамма-функцию

Получим новые формулы для интегралов, заменяя аргумент интегрирования.

1. В (4.1)

замена

, ,

, ,

дает

.

Переобозначаем и находим

. (4.8)

3. В (4.8) полагаем

, , ,

получаем

.

Разделяем выражение на вещественную и мнимую части, используя формулу Эйлера:

,

находим

,

. (4.8а)

3. В интеграле (4.8)

заменяем аргумент

, , ,

получаем

.

Заменяем параметр

,

тогда

,

,

В полученном выражении

переобозначение и дает

. (4.9)

Интеграл Пуассона

Из (4.9) при

,

находим

,

,

. (4.9а)

Требуется получить гамма-функцию полуцелого аргумента.