Ответы на Экз. программу Ворд / шпоры ворд / 9. осесимметр. задачи теории упругости / 9.3.Инт.дефф.у-я.равн(Ламе)
.doc9.3.Интегрирование диф. уравнения равновесия в перемещениях.
d^2u / dr^2 + du / rdr – u/r^2 = 0
из этого уравнения получаем: d [d(u*r) / (r*dr)] / dr = 0 или u(r) = C1*r + C2/r
РИС.9.3.
для определения констант С1 и С2 используем краевые условия:
СИГМА_r(при r = r1) = - p1
СИГМА_r(при r = r2) = - p2
Используя обобщенный закон Гука:
С1 = [ (1 - МЮ) / E ]* [(p1*r1^2 – p2*r2^2) / (r2^2 – r1^2)]
С1 = [ (1 + МЮ) / E ]* [(p1 – p2) * r1^2 *r2^2) / (r2^2 – r1^2)]
Эти значения подставляем в выражение для u(r) и получаем 1-ю формулу Ламе.
2-я формула Ламе:
СИГМА_r = [(p1*r1^2 – p2*r2^2) / (r2^2 – r1^2) ] – [(p1 – p2)*r1^2*r2^2) / (r2^2 – r1^2)*r^2]
Для СИГМА_ТЕТТА формула такая же, только между двумя дробями знак «+».
Эти формулы применяются для толстостенной оболочки, у которой толщина одного порядка с радиусом.