Ответы на Экз. программу Ворд / шпоры ворд / 9. осесимметр. задачи теории упругости / 9.4.Применение.ф-л.Ламе

Применение формул Ламе для расчета цилиндров.

ОТКРЫТЫЙ ЦИЛИНД. РИС.9.4.

Продольные напряжения СИГМА_z = 0

e_z = - МЮ*(СИГМА_r + СИГМА_ТЕТТА) / Е = const

СИГМА_r и СИГМА_ТЕТТА вычисляются по 2-й формуле Ламе.

Все сечения цилиндра после деформации остаются плоскими.

При действии на цилиндр только наружных или внутренних давлений значения СИГМА_r и СИГМА_ ТЕТТА во всех точках одинаковы.

При р = р1 (р2 = 0): СИГМА_r < 0, СИГМА_ТЕТТА > 0 для любой точки.

При р = р2 (р1 = 0): СИГМА_r < 0, СИГМА_ТЕТТА < 0 для любой точки.

ЗАКРЫТЫЙ ЦИЛИНДР. РИС.9.5.

Рассматриваем сечение, достаточно удаленное от краев (порядка 2-3 наружных диаметров).

В поперечных сечениях возникают продольные усилия. Запишем уравнение статики для отсеченной части цилиндра.

Рассмотрим равновесие отсеченной части:

СИГМА_z = [ПИ*(p1*r1^2 – p2*r2^2)] / [ПИ*(r2^2 – r1^2)] = const

Напряженное состояние является объемным.

СИГМА_r и СИГМА_ТЕТТА вычисляются по 2-й формуле Ламе.

e_z = (1- 2*МЮ)/Е * СИГМА_z = const

поэтому сечения остаются плоскими, но весь цилиндр получает или удлинение или укорочение.

В поперечных сечениях, удаленных от краев, продольные напряжения СИГМА_z распределены равномерно. Уравнения равновесия в перемещениях будут иметь вид как и для открытого цилиндра. Наличие осевого напряжения СИГМА_z сказывается только на величине радиального перемещения U и не влияет на СИГМА_r и СИГМА_ТЕТТА.

СИГМА_r + СИГМА_ТЕТТА = 0

При СИГМА_z отличном от 0 общая картина распределения напряжений достигается принципом суперпозиции.