Ответы на Экз. программу Ворд / шпоры ворд / 9. осесимметр. задачи теории упругости / 9.1.Гипотезы.Вывод.у-я.равнов
..doc9.1.Постановка задачи.
Будем рассматривать тела вращения, нагруженные силами, симметричными относительно оси тела.
Осесимметричная задача, в которой напряжения и деформации не зависят от координат ТЕТТА и Z, а зависят только от координаты r, называется плоской осесимметричной задачей теории упругости.
Рассмотрим расчет цилиндра: вырежем диск толщиной dz и рассмотрим его равновесие.
При этом используем гипотезы: 1. Сплошности
2. однородности
3. изотропности материала
4. деформации малы.
5. материал линейно-упругий
Вывод уравнения равновесия для элемента диска в напряжениях.
РИС.9.1. Вырежем элемент двумя сечениями.
На кольцевых проекциях напряжение СИГМА_z = 0, касательные напряжения ТАУ_r_z = 0, ТАУ_r_тетта = 0.
Поэтому имеем плоское напряженное состояние, где СИГМА_r и СИГМА_тетта – главные напряжения. Будем считать, что радиальное напряжение положительное «+» если оно направлено ОТ центра диска.
Рассмотрим равновесие выделенного элемента.
Элемент в равновесии – поэтому ДЕЛЬТА z = 0.
-СИГМА_r*r*dТЕТТА*dz + (СИГМА_r + dСИГМА_r)*dТЕТТА*dz –z*СИГМА_ТЕТТА*sin(dТЕТТА*dr*dz) = 0
После упрощений:
dСИГМА_r*r + СИГМА_r*dТЕТТА – СИГМА_ТЕТТА*dr = 0
дифференциальное уравнение равновесия:
dСИГМА_r / dr + (СИГМА_r – СИГМА_ТЕТТА) / r = 0
замечание: уравнение равновесия было получено в дифференциальной форме для бесконечно малого элемента объема. В сопромате уравнения равновесия записываются в интегральной форме для всего сечения в целом (интегральное представление внутренних силовых факторов), что вызывает необходимость вводить допущение о законе распределения внутренних сил по сечению.