Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Скачиваний:
77
Добавлен:
27.05.2014
Размер:
45.06 Кб
Скачать

9. Осесимметричные задачи теории упругости.

Постановка задачи.

Будем рассматривать тела вращения, нагруженные силами, симметричными относительно оси тела.

Осесимметричная задача, в которой напряжения и деформации не зависят от координат ТЕТТА и Z, а зависят только от координаты r, называется плоской осесимметричной задачей теории упругости.

Рассмотрим расчет цилиндра: вырежем диск толщиной dz и рассмотрим его равновесие. При этом используем гипотезы: 1. Сплошности

2. однородности

3. изотропности материала

4. деформации малы.

5. материал линейно-упругий

Вывод уравнения равновесия для элемента диска в напряжениях.

РИС.9.1. Вырежем элемент двумя сечениями.

На кольцевых проекциях напряжение СИГМА_z = 0, касательные напряжения ТАУ_r_z = 0, ТАУ_r_тетта = 0.

Поэтому имеем плоское напряженное состояние, где СИГМА_r и СИГМА_тетта – главные напряжения. Будем считать, что радиальное напряжение положительное «+» если оно направлено ОТ центра диска.

Рассмотрим равновесие выделенного элемента.

Элемент в равновесии – поэтому ДЕЛЬТА z = 0.

-СИГМА_r*r*dТЕТТА*dz + (СИГМА_r + dСИГМА_r)*dТЕТТА*dz –z*СИГМА_ТЕТТА*sin(dТЕТТА*dr*dz) = 0

После упрощений:

dСИГМА_r*r + СИГМА_r*dТЕТТА – СИГМА_ТЕТТА*dr = 0

дифференциальное уравнение равновесия:

dСИГМА_r / dr + (СИГМА_r – СИГМА_ТЕТТА) / r = 0

замечание: уравнение равновесия было получено в дифференциальной форме для бесконечно малого элемента объема. В сопромате уравнения равновесия записываются в интегральной форме для всего сечения в целом (интегральное представление внутренних силовых факторов), что вызывает необходимость вводить допущение о законе распределения внутренних сил по сечению.

деформации в радиальном и окружном направлениях.

е_r = (dr + du - dr) / dr = du / dr

e_ТЕТТА = ( (r + u)*dТЕТТА – r*dТЕТТА ) / r*dТЕТТА = u / r

эти деформации не являются независимыми. уравнение совместности деформации:

d(e_ТЕТТА*r) / dr = е_r

РИС.9. 2

Уравнения равновесия в перемещениях.

Для плоского напряженного состояния выразим напряжения из обобщенного закона Гука:

СИГМА_r = E / (1 – МЮ^2) * (e_r + МЮ*e_ТЕТТА)

СИГМА_ТЕТТА = E / (1 – МЮ^2) * (e_ТЕТТА + МЮ*e_r)

В эти выражения подставляем деформации (см. выше)

Потом все вместе подставляем в диф. уравнение равновесия:

dСИГМА_r / dr + (СИГМА_r – СИГМА_ТЕТТА) / r = 0

получаем уравнение равновесия в перемещениях:

d^2u / dr^2 + du / rdr – u/r^2 = 0

Интегрирование диф. уравнения равновесия в перемещениях.

d^2u / dr^2 + du / rdr – u/r^2 = 0

из этого уравнения получаем: d [d(u*r) / (r*dr)] / dr = 0 или u(r) = C1*r + C2/r

РИС.9.3.

для определения констант С1 и С2 используем краевые условия:

СИГМА_r(при r = r1) = - p1

СИГМА_r(при r = r2) = - p2

Используя обобщенный закон Гука:

С1 = [ (1 - МЮ) / E ]* [(p1*r1^2 – p2*r2^2) / (r2^2 – r1^2)]

С1 = [ (1 + МЮ) / E ]* [(p1 – p2) * r1^2 *r2^2) / (r2^2 – r1^2)]

Эти значения подставляем в выражение для u(r) и получаем 1-ю формулу Ламе.

2-я формула Ламе:

СИГМА_r = [(p1*r1^2 – p2*r2^2) / (r2^2 – r1^2) ] – [(p1 – p2)*r1^2*r2^2) / (r2^2 – r1^2)*r^2]

Для СИГМА_ТЕТТА формула такая же, только между двумя дробями знак «+».

Эти формулы применяются для толстостенной оболочки, у которой толщина одного порядка с радиусом.

Применение формул Ламе для расчета цилиндров.

ОТКРЫТЫЙ ЦИЛИНД. РИС.9.4.

Продольные напряжения СИГМА_z = 0

e_z = - МЮ*(СИГМА_r + СИГМА_ТЕТТА) / Е = const

СИГМА_r и СИГМА_ТЕТТА вычисляются по 2-й формуле Ламе.

Все сечения цилиндра после деформации остаются плоскими.

При действии на цилиндр только наружных или внутренних давлений значения СИГМА_r и СИГМА_ ТЕТТА во всех точках одинаковы.

При р = р1 (р2 = 0): СИГМА_r < 0, СИГМА_ТЕТТА > 0 для любой точки.

При р = р2 (р1 = 0): СИГМА_r < 0, СИГМА_ТЕТТА < 0 для любой точки.

ЗАКРЫТЫЙ ЦИЛИНДР. РИС.9.5.

Рассматриваем сечение, достаточно удаленное от краев (порядка 2-3 наружных диаметров).

В поперечных сечениях возникают продольные усилия. Запишем уравнение статики для отсеченной части цилиндра.

Рассмотрим равновесие отсеченной части:

СИГМА_z = [ПИ*(p1*r1^2 – p2*r2^2)] / [ПИ*(r2^2 – r1^2)] = const

Напряженное состояние является объемным.

СИГМА_r и СИГМА_ТЕТТА вычисляются по 2-й формуле Ламе.

e_z = (1- 2*МЮ)/Е * СИГМА_z = const

поэтому сечения остаются плоскими, но весь цилиндр получает или удлинение или укорочение.

В поперечных сечениях, удаленных от краев, продольные напряжения СИГМА_z распределены равномерно. Уравнения равновесия в перемещениях будут иметь вид как и для открытого цилиндра. Наличие осевого напряжения СИГМА_z сказывается только на величине радиального перемещения U и не влияет на СИГМА_r и СИГМА_ТЕТТА.

СИГМА_r + СИГМА_ТЕТТА = 0

При СИГМА_z отличном от 0 общая картина распределения напряжений достигается принципом суперпозиции.

Тонкостенный сосуд с внутренним давлением. ФОРМУЛЫ МАРИОТТА.

Толщина стенки мала - дельта_стенки много меньше r1.

ФОРМУЛЫ МАРИОТТА можно использовать при дельта_стенки/ r1 <= 1/10.

СИГМА_r (при r = r1) = - p СИГМА_ТЕТТА (при r = r1) = p*r1 / дельта_стенки

СИГМА_r (при r = r2) = 0 СИГМА_ТЕТТА (при r = r2) = p*r1 / дельта_стенки

Продольные напряжения:

СИГМА_z = [p*r1^2] / [r2^2 – r1^2] = p*r1 / 2*дельта_стенки

Так как r2 = r1 + дельта_стенки.

Получается, что радиальные напряжения от толщины стенки не зависят, а окружные напряжения в 2 раза больше продольных СИГМА_z.

Температурные напряжения в толстостенных цилиндрах.

РИС.9.6.

При равномерном нагреве цилиндра Т=const все напряжения равны 0.

Равномерный нагрев вызывает равномерное расширение по всему объему.

При неравномерном нагреве цилиндра возникают температурные напряжения, что обусловлено неравномерностью расширения.

h и R одного порядка.

T(r) = T2 + (T1 – T2) * ln(r2 / r) / [ ln( r2 / r1)]

Такой закон распределения наблюдается в толстостенных цилиндрах при заданных температурах на внутренней и внешней поверхностях. Это распределение представляет собой точное решение задачи теплопроводности для осесимметричного температурного поля (не меняющегося по длине цилиндра). При «+» перепаде температур опасным являются точки на внутренней поверхности цилиндра.

  1. При больших перепадах температур напряжения в цилиндре могут превышать предел текучести, в этом случае формулами пользоваться нельзя.

  2. Пр одновременном температурном нагружении и внешним (внутренним) давлении напряжения вычисляются как сумма температурной задачи и задачи Ламе, так как задача линейная.