Ответы на Экз. программу Ворд / шпоры ворд / 9. осесимметр. задачи теории упругости / 9. осесимметр. задачи теории упругости
.doc9. Осесимметричные задачи теории упругости.
Постановка задачи.
Будем рассматривать тела вращения, нагруженные силами, симметричными относительно оси тела.
Осесимметричная задача, в которой напряжения и деформации не зависят от координат ТЕТТА и Z, а зависят только от координаты r, называется плоской осесимметричной задачей теории упругости.
Рассмотрим расчет цилиндра: вырежем диск толщиной dz и рассмотрим его равновесие. При этом используем гипотезы: 1. Сплошности
2. однородности
3. изотропности материала
4. деформации малы.
5. материал линейно-упругий
Вывод уравнения равновесия для элемента диска в напряжениях.
РИС.9.1. Вырежем элемент двумя сечениями.
На кольцевых проекциях напряжение СИГМА_z = 0, касательные напряжения ТАУ_r_z = 0, ТАУ_r_тетта = 0.
Поэтому имеем плоское напряженное состояние, где СИГМА_r и СИГМА_тетта – главные напряжения. Будем считать, что радиальное напряжение положительное «+» если оно направлено ОТ центра диска.
Рассмотрим равновесие выделенного элемента.
Элемент в равновесии – поэтому ДЕЛЬТА z = 0.
-СИГМА_r*r*dТЕТТА*dz + (СИГМА_r + dСИГМА_r)*dТЕТТА*dz –z*СИГМА_ТЕТТА*sin(dТЕТТА*dr*dz) = 0
После упрощений:
dСИГМА_r*r + СИГМА_r*dТЕТТА – СИГМА_ТЕТТА*dr = 0
дифференциальное уравнение равновесия:
dСИГМА_r / dr + (СИГМА_r – СИГМА_ТЕТТА) / r = 0
замечание: уравнение равновесия было получено в дифференциальной форме для бесконечно малого элемента объема. В сопромате уравнения равновесия записываются в интегральной форме для всего сечения в целом (интегральное представление внутренних силовых факторов), что вызывает необходимость вводить допущение о законе распределения внутренних сил по сечению.
деформации в радиальном и окружном направлениях.
е_r = (dr + du - dr) / dr = du / dr
e_ТЕТТА = ( (r + u)*dТЕТТА – r*dТЕТТА ) / r*dТЕТТА = u / r
эти деформации не являются независимыми. уравнение совместности деформации:
d(e_ТЕТТА*r) / dr = е_r
РИС.9. 2
Уравнения равновесия в перемещениях.
Для плоского напряженного состояния выразим напряжения из обобщенного закона Гука:
СИГМА_r = E / (1 – МЮ^2) * (e_r + МЮ*e_ТЕТТА)
СИГМА_ТЕТТА = E / (1 – МЮ^2) * (e_ТЕТТА + МЮ*e_r)
В эти выражения подставляем деформации (см. выше)
Потом все вместе подставляем в диф. уравнение равновесия:
dСИГМА_r / dr + (СИГМА_r – СИГМА_ТЕТТА) / r = 0
получаем уравнение равновесия в перемещениях:
d^2u / dr^2 + du / rdr – u/r^2 = 0
Интегрирование диф. уравнения равновесия в перемещениях.
d^2u / dr^2 + du / rdr – u/r^2 = 0
из этого уравнения получаем: d [d(u*r) / (r*dr)] / dr = 0 или u(r) = C1*r + C2/r
РИС.9.3.
для определения констант С1 и С2 используем краевые условия:
СИГМА_r(при r = r1) = - p1
СИГМА_r(при r = r2) = - p2
Используя обобщенный закон Гука:
С1 = [ (1 - МЮ) / E ]* [(p1*r1^2 – p2*r2^2) / (r2^2 – r1^2)]
С1 = [ (1 + МЮ) / E ]* [(p1 – p2) * r1^2 *r2^2) / (r2^2 – r1^2)]
Эти значения подставляем в выражение для u(r) и получаем 1-ю формулу Ламе.
2-я формула Ламе:
СИГМА_r = [(p1*r1^2 – p2*r2^2) / (r2^2 – r1^2) ] – [(p1 – p2)*r1^2*r2^2) / (r2^2 – r1^2)*r^2]
Для СИГМА_ТЕТТА формула такая же, только между двумя дробями знак «+».
Эти формулы применяются для толстостенной оболочки, у которой толщина одного порядка с радиусом.
Применение формул Ламе для расчета цилиндров.
ОТКРЫТЫЙ ЦИЛИНД. РИС.9.4.
Продольные напряжения СИГМА_z = 0
e_z = - МЮ*(СИГМА_r + СИГМА_ТЕТТА) / Е = const
СИГМА_r и СИГМА_ТЕТТА вычисляются по 2-й формуле Ламе.
Все сечения цилиндра после деформации остаются плоскими.
При действии на цилиндр только наружных или внутренних давлений значения СИГМА_r и СИГМА_ ТЕТТА во всех точках одинаковы.
При р = р1 (р2 = 0): СИГМА_r < 0, СИГМА_ТЕТТА > 0 для любой точки.
При р = р2 (р1 = 0): СИГМА_r < 0, СИГМА_ТЕТТА < 0 для любой точки.
ЗАКРЫТЫЙ ЦИЛИНДР. РИС.9.5.
Рассматриваем сечение, достаточно удаленное от краев (порядка 2-3 наружных диаметров).
В поперечных сечениях возникают продольные усилия. Запишем уравнение статики для отсеченной части цилиндра.
Рассмотрим равновесие отсеченной части:
СИГМА_z = [ПИ*(p1*r1^2 – p2*r2^2)] / [ПИ*(r2^2 – r1^2)] = const
Напряженное состояние является объемным.
СИГМА_r и СИГМА_ТЕТТА вычисляются по 2-й формуле Ламе.
e_z = (1- 2*МЮ)/Е * СИГМА_z = const
поэтому сечения остаются плоскими, но весь цилиндр получает или удлинение или укорочение.
В поперечных сечениях, удаленных от краев, продольные напряжения СИГМА_z распределены равномерно. Уравнения равновесия в перемещениях будут иметь вид как и для открытого цилиндра. Наличие осевого напряжения СИГМА_z сказывается только на величине радиального перемещения U и не влияет на СИГМА_r и СИГМА_ТЕТТА.
СИГМА_r + СИГМА_ТЕТТА = 0
При СИГМА_z отличном от 0 общая картина распределения напряжений достигается принципом суперпозиции.
Тонкостенный сосуд с внутренним давлением. ФОРМУЛЫ МАРИОТТА.
Толщина стенки мала - дельта_стенки много меньше r1.
ФОРМУЛЫ МАРИОТТА можно использовать при дельта_стенки/ r1 <= 1/10.
СИГМА_r (при r = r1) = - p СИГМА_ТЕТТА (при r = r1) = p*r1 / дельта_стенки
СИГМА_r (при r = r2) = 0 СИГМА_ТЕТТА (при r = r2) = p*r1 / дельта_стенки
Продольные напряжения:
СИГМА_z = [p*r1^2] / [r2^2 – r1^2] = p*r1 / 2*дельта_стенки
Так как r2 = r1 + дельта_стенки.
Получается, что радиальные напряжения от толщины стенки не зависят, а окружные напряжения в 2 раза больше продольных СИГМА_z.
Температурные напряжения в толстостенных цилиндрах.
РИС.9.6.
При равномерном нагреве цилиндра Т=const все напряжения равны 0.
Равномерный нагрев вызывает равномерное расширение по всему объему.
При неравномерном нагреве цилиндра возникают температурные напряжения, что обусловлено неравномерностью расширения.
h и R одного порядка.
T(r) = T2 + (T1 – T2) * ln(r2 / r) / [ ln( r2 / r1)]
Такой закон распределения наблюдается в толстостенных цилиндрах при заданных температурах на внутренней и внешней поверхностях. Это распределение представляет собой точное решение задачи теплопроводности для осесимметричного температурного поля (не меняющегося по длине цилиндра). При «+» перепаде температур опасным являются точки на внутренней поверхности цилиндра.
-
При больших перепадах температур напряжения в цилиндре могут превышать предел текучести, в этом случае формулами пользоваться нельзя.
-
Пр одновременном температурном нагружении и внешним (внутренним) давлении напряжения вычисляются как сумма температурной задачи и задачи Ламе, так как задача линейная.