Добавил:

Hidi Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский университет «МЭИ»

Предмет:

Теоретическая механика

Файл:

Краткий курс лекций.pdf

Скачиваний:

505

Добавлен:

27.05.2014

Размер:

1.19 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 156 7 8 9 10 11 12 13 14 15 > Следующая >>>

21 Динама

Второй статистический инвариант:

~ ~	(15)
I2 = FO · MO = FxMx + FyMy + Fz Mz

Определение. Совокупность силы и пары сил с моментом, коллинеарным силе, называется динамическим винтом или динамой. Динамический винт представляет собой совокупность силы и пары сил, действующей в плоскости, перпендикулярной силе.

~					~
~					~
6F0					6F0
	~						~
~		F0					F0
6M0		6					6
6M0		6
		µ	~		?	µ
ª	O			M0	?	O ª
ª	O					O ª
Рис. 44			Рис. 45

Если второй статический инвариант не равен нулю, то систему можно привести к динаме. Условие коллинеарности главного вектора и главного момента записывается следующим образом:

pFO = M

где p — параметр (шаг) винта, имеющий размерность длины. Таким образом,

~ ~	~	~	(16)
pFO = MO − OO		× FO

Пусть Fx, Fy, Fz , MOx, MOy , MOz — проекции главного вектора и главного момента на оси x, y, z

MOx − (yFz − zFy)	=	MOy − (yFx − zFy )	=	MOz − (yFy − zFy)	= p.	(17)
Fx		Fz		Fx

Это и есть уравнение центральной оси.

22 Кинематика. Введение

Кинематика — наука о движении геометрических тел. В ней рассматривается само движение без изучения причин, вызывающих это движение. Впервые термин “кинематика"ввел А.Ампер (1775– 1836), взяв за основу греческое 1 слово κινηµα, означающее движение.

Простейшим объектом в кинематике является точка. В кинематике точки рассматриваются следующие функции времени t: радиус-вектор ~r(t), скорость ~v(t) и ускорение ~a(t):

	d~r(t)		d~v(t)		d2~r(t)
~v(t) =		, ~a(t) =		=		.
	dt		dt		dt2

1Андре Мари Ампер — французский физик, механик, математик.

23 Способы задания движения

23.1Векторный способ задания движения

	z	P
	6
		¸
		~r(t)
		-y	Положение движущейся материальной точки можно задать вектором
			~
			~r = OP , изменяющимся с течением времени по величине и по на-
ª			правлению относительно некоторой системы осей Ox, y, z. Этот век-
ª			тор называется радиус-вектором точки.
x			тор называется радиус-вектором точки.

Рис. 46

Уравнение ~r = ~r(t) называется уравнением движения точки.

Геометрическое место концов радиус-векторов ~r(t) называется траекторией точки P . Скорость

~ и ускорение точки определяются как первая и вторая производные радиуса-вектора точки

V ~a P P

по времени:

~			d~r
V =							(18)
				dt
2		~r			~
~a =	d		=			dV	(19)
	dt2					dt

23.2Координатный способ задания движения


z	P (x, y, z)
6
6
	¸

~r(t)

~k -6 -y i

ª ~j

Координаты движущейся точки в выбранной системе выражаются как функции времени. Система координат может быть произвольной. Наиболее часто используются декартовы прямоугольные координаты, полярные координаты, сферические, цилиндрические. Для декартовых прямоугольных координат задают три независимые функции времени

x = x(t), y = y(t), z = z(t).

	ª	Эти уравнения называются уравнениями движения точки в декарто-
	ª	вой системе координат.
	x	вой системе координат.
		Рис. 47

Скорость и ускорение точки P при таком способе задания движения определяются следующими

выражениями:

(20)

V = Vxi + Vyj + Vz k

(21)

~a = axi + ayj + az k

Vx =

; Vy =

; Vz

(22)

ax =

d2x

dVx

; ay

d2y

dVy

; az =

d2z

dVz

(23)

Модули скорости и ускорения точки P равны:

V = |V~ | = q

a = |~a| = q

Vx2 + Vy2 + Vz2

ax2 + ay2 + az2

(24)

23.3Естественный способ задания движения

− 0 +

s(t)

Рис. 48

Движение точки определяется заданием ее траектории и уравнения движения по этой траектории. (Пример: расписание движения поездов по железной дороге.) Уравнение движения точки по траектории при естественном способе движения имеет вид: s = s(t). Здесь s — взятая с соответствующим знаком длина дуги, отсчитываемая вдоль траектории от начала отсчета O на траектории до точки M .

Рис. 49

Рассмотрим на траектории движения точки три последовательных ее положения: точки M , M1 и

M2.

Если точка M1 занимает бесконечно близкое положение по отношению к точке M , то отрезок M M1 в пределе определит положение касательной к кривой в точке M .

Если траектория не является прямой линией, то три точки M , M1 и M2 определяют некоторую плоскость. Плоскость, занимающая предельное положение, когда точки M1 и M2 стремятся к точке M, называется соприкасающейся плоскостью. Касательная к кривой, построенная в точке M , лежит в этой плоскости.

В общем случае три точки M , M1 и M2 (при стремлении M1 и M2 к точке M ) однозначно определяют окружность в соприкасающейся плоскости, называемую окружностью кривизны или кругом кривизны. Радиус этой окружности называется радиусом кривизны.

Хорды M M1 и M1M2 при неограниченном приближении точек M1 к M и M2 к M1 определят касательные к кривой в точках M и M1, соответственно, а следовательно, и направление скоростей в этих точках (~v и ~v1).

Рис. 50

Перенесем вектор скорости ~v1 в точку M . Два вектора определят плоскость. При неограниченном стремлении точки 1 к M эта плоскость будет соприкасающейся.

Геометрическая величина вектора AB определяется из равенства:
AB = AK + KB	(25)

Точки K и B находятся на одной и той же окружности с центром в точке M . Разделим это равенство на t:

			AB	=	AK	+	KB	(26)
			t	=	t	+	t	(26)
			t		t		t

Отношение	AB	равно среднему ускорению точки M за время						t. Ускорение точки M является
Отношение	t	равно среднему ускорению точки M за время						t. Ускорение точки M является
	t					t стремится к нулю.
предельным значением среднего ускорения, когда						t стремится к нулю.

Рассмотрим вектор AKt , который направлен по касательной к траектории. Предельное значение модуля этого вектора называется касательной или тангенциальной составляющей ускорения

точки и имеет вид:

t→∞ ¯

¯ =

t→∞ || | −t | ||

dt| |

a =

lim

v~1 ~v

= d v

(27)

Можно также рассматривать вектор касательного ускорения a~τ , направление которого совпадает с направлением скорости точки, а величина равна производной от модуля скорости точки.

Рис. 51

Обозначим через ε угол между векторами ~v и v~1. Тогда для предельного значения модуля вектора

получим:

t→∞ ¯

v1ε

t→∞

S v

t ρ

t→∞ ρ

t ρ

lim

(28)

Здесь

— длина дуги

неограниченно

M M

. Предельное значение отрезка M O, когда точка M

приближается к M , называется радиусом кривизны траектории в точке M .

M1→M ¯

ρ =

lim

(29)

→

Угол ϕ определяется выражением ϕ =

−

. Предельное значение этого угла при

равно

Предельное значение вектора

обозначим через a~n:

a~n = lim

(30)

t→0

Модуль этого вектора равен v2 , а сам вектор находится в соприкасающейся плоскости и направлен

ортогонально к скорости точки в сторону вогнутости траектории по главной нормали. Поэтому вектор a~n называют нормальным ускорением точки.

~			: ~aτ
b	6	~τ
	:			-	~a
					~a
~nN
	N
	~an

Рис. 52

Рассмотрим систему осей координат с началом в точке M . Ось ~τ направим по касательной к

траектории точки, ось — по направлению главной нормали, а третью ось ~ — так, чтобы тройка

~n β

этих векторов образовала правую систему. Выбранные так оси представляют собой сопровождающий трехгранник, который называют также естественным трехгранником.

Проекции ускорения на оси естественного трехгранника равны:

	dv		v2
aτ =		; an =		; aβ = 0	(31)
	dt		ρ

24 Кинематика абсолютно твердого тела

24.1Распределение скоростей в абсолютно твердом теле

Определение. Абсолютно твердым телом (А.Т.Т.) называют такую систему материальных точек, расстояния между двумя любыми точками которой остаются всегда неизменными.

Движение тела в кинематике начинают изучать с поступательного и вращательного движения. Во вращательном движении вводятся понятия угла поворота тела ϕ(t), угловой скорости и углового ускорения.

		A		~r	B
		¸		~r	B
		¸			z
	z0				µ


	6~rA					Последние две величины векторные, но для вращатель-
	6~rA		~rB			Последние две величины векторные, но для вращатель-
			~rB			ного движения их направление всегда постоянно — по
						ного движения их направление всегда постоянно — по
						оси вращения. Поэтому в решении часто используются
					y0	скалярные величины ωz (t) = ϕ˙ (t), εz (t) = ω˙ z (t), имеющие
0					-	смысл проекций этих векторов на ось вращения z. Точкой
0

x0ª						будем обозначать производную по времени. Рассмотрим,
x0ª						как распределяются скорости точек движущегося произ-
						вольно А.Т.Т

Рис. 53

d~rA

d~rB

Скорости точек A

и B твердого тела можно записать как VA =

и VB =

d(OB)

d(OA)

d(AB)

Но OB = OA + AB и

, следовательно VB = VA +

d~r

d(AB)

Назовем

скоростью точки В относительно точки A: VA/B

x ª

6~rA

~rB

x0ª

~	d~r		d	~	~	~
VA/B =	dt	=	dt	(xi	+ yj	+ zk)

Axyz — система координат, жестко связанная с твердым телом; xyz — проекции вектора ~r на оси связанной системы. Так как x, y, z — константы,

d~r	~		~		~
	= x	di	+ y	dj	+ z	dk
dt				dt		dt
	dt

Рис. 54

Найдем проекции d~rdt на подвижные оси Axyz. Проекция на ось x:

d~r

|x =

· i

= x

· i

+ y

· i

+ z

· i

= y

· i

+ z

· i

(32)

Проекция на ось y:

d~r		d~r	~	~
					di
	\|y =		· j	= x
dt		dt			dt

· j

+ y dt

· j

+ z dt

· j

= xdt

· j

+ z dt

· j

(33)

= VA/B

Проекция на ось z:

d~r

· k = x

· k + y

· k + z

· k = x

· k + y

· k

В выражениях было учтено, что скалярное произведение d~dtq

· ~q

равно 0 , так как

d~q

~q · ~q = 1 =

· ~q + ~q ·

= 0 = 2

· ~q = 0 =

· ~q = 0

Далее отметим, что

~ ~

i · j = 0 = dt · j + i · dt

= 0 = dt

· j = −i · dt

С учетом (35) введем следующие обозначения:

ωx = dt

× k = − dt

× j;

ωy =

× i = −

× k,

~			~
	di	~	dj	~

ωz = dt		× j = −dt		× i

Тогда выражения (32-33) можно переписать:

Проекция на ось x:

d~r

dt |x = ωyz − ωz y

Проекция на ось y:

d~r

dt |y = ωz x − ωxz;

Проекция на ось z:

(34)

(35)

(36)

(37)

d~r

dt |z = ωxy − ωyx

Рассмотрим векторное произведение ω~ × ~r, где в качестве компонент вектора ω~ возьмем ωx, ωy, ωz :

ω~	~r =	ωx		ωy	ωz
			~	~	~
×			i	j	k
×			x	y	z

= ~i(ωyz	−	ωz y) + ~j(ωz x	−	ωxz) + ~k(ωxy	−	ωyx)	(38)
	−		−		−

d~r

Сравнивая (37) и (38), получаем dt = ω~ × ~r. Построеный таким образом вектор ~ω является единственным и не зависит от выбора точки A, называемой полюсом.

Определение. Вектор ω~ , проекции которого определяются формулами (36) называется вектором угловой скорости твердого тела.

~ ~ ~

В итоге получаем VB = VA + ω~ ×AB. Эта формула называется основной формулой кинематики А.Т.Т. и выражает Теорему о распределении скоростей при движении абсолютно твердого тела.

Скорость произвольной точки А.Т.Т. равняется геометрической сумме вектора скорости полюса и скорости точки во вращении вокруг полюса.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 156 7 8 9 10 11 12 13 14 15 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Теоретическая механика

#
27.05.20141.19 Mб505Краткий курс лекций.pdf
#
27.05.20143.7 Mб175Шпоры на экзамен по теормеху.docx
#
27.05.20144.15 Mб264Шпоры по экзаменационным задачам.doc
#
27.05.201438.91 Кб39Экзаменационная программа (2004).doc