Введем обозначения:
|
n |
|
X |
Ixx = |
mν (yν2 + zν2) |
|
ν=1 |
|
n |
|
X |
Iyy = |
mν (xν2 + zν2) |
|
ν=1 |
|
n |
|
X |
Izz = |
mν (xν2 + yν2) |
|
ν=1 |
|
n |
Ixy = |
X |
mν xν yν |
|
|
ν=1 |
|
n |
|
X |
Iyz = |
mν yν zν |
|
ν=1 |
|
n |
|
X |
Izx = |
mν zν xν |
|
ν=1 |
Получим: |
|
KOx = Ixxωx − Ixyωy − Ixz ωz |
|
KOy = Ixyωx − Iyyωy − Iyz ωz
KOz = Ixz ωx − Izyωy − Izz ωz
Кинетический момент твердого тела с однородной неподвижной точкой относительно этой точки равен произведению тензора инерции на угловую скорость тела.
42 Моменты инерции абсолютно твердого тела
42.1Определения
Разделим мысленно твердое тело на n частей с массами mν и радиусами-векторами r~ν .
|
~ |
~ |
~ |
Если xν , yν , zν — координаты точки с массой, то ~rν = vν i + yν j + zν + k. |
|||
Радиус-вектор центра масс полученной системы определяется по формулам |
|||
|
n |
|
|
|
X |
|
|
~rc = |
mν~rν . |
|
(121) |
ν=1
Выражения для осевых моментов инерции твердого тела имеют вид:
|
n |
|
|
|
X |
|
|
Ixx = |
mν (yν2 + zν2), |
|
|
|
ν=1 |
|
|
|
n |
|
|
|
X |
|
|
Iyy = |
mν (x2 |
+ z2), |
(122) |
|
ν |
ν |
|
|
ν=1 |
|
|
|
n |
|
|
|
X |
|
|
Izz = |
mν (xν2 + yν2). |
|
|
ν=1
Выражения для центробежных моментов инерции твердого тела имеют вид:
Xn
Ixy = |
mν xν yν , |
|
|
ν=1 |
|
|
n |
|
Iyz = |
X |
|
mν yν zν , |
(123) |
ν=1
Xn
Izx = mν zν xν .
ν=1
При увеличении числа n и стремлении mν к нулю выражения (122) и (123) принимают вид:
Z Z Z
Ixx = (y2 + z2)dm,
V
Z Z Z
Iyy = (y2 + z2)dm,
V
Z Z Z
Izz = (z2 + x2)dm,
V |
|
Ixy = Z Z Z |
xydm, |
V |
|
Iyz = Z Z Z |
yzdm, |
V |
|
Izx = Z Z Z |
zxdm. |
V |
|
Обозначим через γ плотность тела в точке x, y, z, тогда dm = γ(x, y, z)dV , где dV — элементарный объем. C учетом этого выражения для моментов инерции примут вид:
Z Z Z
Ixx = (y2 + z2)γ(x, y, z)dxdydz,
V |
|
|
Iyy = Z Z Z (x2 + z2)γ(x, y, z)dxdydz, |
(124) |
|
V |
|
|
Izz = Z Z Z (x2 + y2)γ(x, y, z)dxdydz, |
|
|
V |
|
|
Ixy = Z Z Z |
xyγ(x, y, z)dxdydz, |
|
V |
|
|
Iyz = Z Z Z |
yzγ(x, y, z)dxdydz, |
(125) |
V |
|
|
Izx = Z Z Z |
zxγ(x, y, z) dxdydz. |
|
V
Если тело — однородное, то выражения (124), (125), являющиеся компонентами тензора инерции тела, примут вид:
Z Z Z
Ixx = γ (y2 + z2)dxdydz,
V
Z Z Z
Iyy = γ (x2 + z2)dxdydz,
V
Z Z Z
Izz = γ (x2 + y2)dxdydz,
V |
|
Ixy = γ Z Z Z |
xydxdydz, |
V |
|
Iyz = γ Z Z Z |
yzdxdydz, |
V |
|
Izx = γ Z Z Z |
zxdxdydz. |
V |
|
42.2 Свойства тензора инерции
Диагональные элементы матрицы I (осевые моменты инерции) строго положительны:
Ixx ≥ 0, Iyy ≥ 0, Izz ≥ 0.
Осевые моменты инерции любого твердого тела удовлетворяют следующим неравенствам:
Ixx + Iyy ≥ Izz , Izz + Iyy ≥ Ixx, Ixx + Izz ≥ Iyy.
42.3 Моменты инерции тела относительно параллельных осей. Теорема Гюй-
генса
z0 z 6
6
d
C- y0
ª
O |
- y |
||
|
|
||
x0 |
|
|
|
|
|
||
|
|
||
xª
Рис. 80 Моменты инерции данного тела относительно разных осей будут, вообще говоря, разными. По-
кажем, как, зная момент инерции относительно какой-нибудь одной оси, проведенной в теле, найти момент инерции относительно любой другой оси, ей параллельной.
Проведем через центр масс тела произвольные оси x0y0z0, а через любую точку на оси Cx0 — оси Oxyz, такие, что Oy||Cy0, Oz||Cz0 (рис. 80). Расстояние OC между осями и обозначим через d. Тогда по формулам (122) будет
IOz = X mk(yk2 + xk2 ), IOz0 = X mk(y0k2 + x0k2 ). |
|
|
|
(126) |
||
0 |
2 |
02 |
2 |
|
0 |
0 |
Но, как видно из рисунка, для любой точки тела xk = xk − d |
и xk |
= x k + d |
|
−22x kd, а yk = yk. |
||
Подставляем эти значения xk, yk в выражение для Ioz и вынося общие множители d |
и 2d за скобки, |
|||||
получим |
|
|
|
|
|
|
IOz = X mk(y0k2 + x0k2 ) + (X mk)d2 − 2d X mkx0k. |
|
|
|
(127) |
||
В правой части равенства, согласно (126), первая сумма равна Icz0 , а вторая — массе тела . Найдем значение третьей суммы.
На основании формул (121) для координат центра масс P mkx0k = M x0c. Так как в нашем случае точка является началом координат, то x0c = 0 и, следовательно, P mkx0k = 0. окончательно получаем
IOz = IOz0 + M d2. |
(128) |
Формула выражает теорему Гюйгенса:
Теорема. Момент инерции тела относительно данной оси равен моменту инерции относительно оси, ей параллельной, проходящей через центр масс тела, сложенному с произведением массы всего тела на квадрат расстояния между осями.
42.4 Тензоры инерции простейших абсолютно твердых тел
1. Однородный диск
Рис. 81
Имеем однородный диск массы m и радиуса R. Разобьем диск на кольца с радиусами rν и массами
mν . Тогда |
n |
n |
|
X |
X |
Izz = rν2mν = rν2γ Sν , |
|
ν=1 |
ν=1 |
где Sν — площадь кольца с внутренним радиусом rν и внешним
диска: γ = m/(πR2), а Sν = 2πrν rν . Поэтому Izz = 2m/R2 Pn
ν=1
Z R
Izz = 2m/R2 r3 dr = mR2/2.
0
rν + rν . Плотность однородного rν3 rν . При n → ∞
И окончательно имеем для момента инерции диска относительно оси z выражение:
Izz = mR2/2.
Поскольку диск бесконечно тонкий неравенство Ixx + Iyy ≥ Izz переходит в равенство Ixx + Iyy = Izz . Но в силу симметрии моменты инерции относительно осей x и y равны, поэтому имеем:
|
Ixx = Iyy = Izz /2 = mR2/4. |
|
|
|
|||||||
В силу наличия плоскостей |
симметрии |
центробежные |
|
моменты инерции равны нулю |
|||||||
Ixy = Ixz = Izy = 0, поэтому |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
mR2 |
0 |
0 |
|
mR |
2 |
|
1 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
4 |
|
|
|
|||||||
I = |
0 |
mR2 |
0 |
= |
|
|
0 |
1 |
0 |
. |
|
4 |
4 |
|
|
||||||||
|
|
mR2 |
|
|
|
0 |
0 |
2 |
|
||
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|||||
|
4 |
|
|
|
|
|
|||||
2. Стержень |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 82
|
0 |
0 |
2 |
0 |
|
ml |
2 |
1 |
0 |
0 |
|
|
I = |
0 |
ml |
0 |
= |
|
0 |
1 |
0 |
. |
|||
|
|
|
|
|||||||||
3 |
|
3 |
|
|||||||||
|
|
|
ml2 |
|
|
0 |
0 |
1 |
|
|||
|
0 |
0 |
|
|
|
|
||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|