15. Методы формирования мднф.

М. д. н. ф. монотонных функций.

Следующий этап после нахождения всех простых импликантов состоит в формировании м. д. н. ф. В некоторых случаях необходимость в этом этапе отпадает. В частности, это имеет место для монотонных функций.

Теорема 2.2.

М. д. н. ф. монотонной функции, отличной от тождественной константы (0 и 1), является дизъюнкцией всех ее простых импликантов.

Доказательство.

Убедимся вначале, что простые импликанты монотонной (функции f не содержат отрицаний переменных). Предположим противное, что имеется

простой импликант x^σ1_i1,… ,x_ij,..., x^σp_ip, содержащий отрицание некоторой переменной x_ij. На всех таких наборах, что x_i1=σ1,…., x_ij=0_,…., x_ip= σp этот импликант равен 1 и по определению импликанта f=1.

Из монотонности f вытекает, что она обращается в 1 и на всех наборах, у которых x_i1=σ1,…., x_ij=1_,…., x_ip=σp. Это означает, что x^σ1_i1…x_ij…x^σp_ip также является импликантом. К паре конъюнкций x^σ1_i1…x_ij…x^σp_ip и x^σ1_i1…x_ij…x^σp_ip

применима операция склеивания, приводящая к удалению переменной x_ij. Поэтому импликант x^σ1_i1…x_ij…x^σp_ip не может быть простым.

Докажем теперь утверждение теоремы. Рассмотрим произвольный простой импликант g= x_i1…x_ip. Образуем набор σ, положив x_i1==…=x_ip, а остальные

переменные - равными 0. На наборе σ импликант g обращается в 1, поэтому и

f(σ)=1. Любой другой простой импликант x_i1…x_iq на наборе σ равен 0. В противном случае все переменные x_i1,…,x_iq должны содержаться среди x_i1…x_ip и импликант x_i1…x_ip не будет простым (вычеркиванием из него можно образовать x_i1…x_iq). Таким образом, на наборе σ дизъюнкция всех простых импликантов, отличных от g , равна 0 и, поскольку f(σ)=1, простой импликант g необходимо включить в м. д. н. ф. Теорема доказана.

Приведем некоторые с л е д с т в и я.

1. Из процесса доказательства следует, что функция (тождественно не равная 0 и 1) является монотонной тогда и только тогда, когда она может быть представлена формулой в базисе {&, V}. Действительно, если функция монотонна, то ее м. д. н. ф. не содержит отрицаний переменных и является формулой в базисе {&, V}. Обратно, поскольку функции x1&x2 и х1Vх2 монотонны, их суперпозиция, задаваемая произвольной формулой в базисе

{&, V}, также монотонна (класс монотонных функций замкнут).

2. Если функция f представлена в виде д. н. ф., конъюнкции которой не содержат отрицаний переменных, и ни одна из этих конъюнкций не поглощает другую (не может быть получена из другой вычеркиванием переменных), то это представление совпадает c м. д. н.ф. Действительно, любая конъюнкция Ki, входящая в представление, является импликантои. Если из Ki вычеркнуть некоторую переменную, то полученная конъюнкция Ki` импликантом не будет (положив все переменные, входящие в Ki`, равными 1, а остальные - равными 0, получим набор, на котором Ki`==l, a f=0). Таким образом, все конъюнкции, содержащиеся в рассматриваемом представлении, являются простыми импликантами. По предыдущему следствию функция f монотонна и в силу теоремы 2.2 это представление совпадает с м. д. н. ф.

3. На том свойстве, что простые импликанты монотонной функции не содержат отрицаний переменных, может быть основан способ распознавания монотонности,