11. Представление в виде скнф.

. Совершенная конъюнктивная нормальная форма.Всякая функция f(x₁, ...,x_n)?1 может быть выражена также в виде конъюнкции некоторых дизъюнкций . Для того чтобы получить это представление, выпишем с.д.н.ф. функции (x₁, ...,x_n)0:

Воспользовавшись правилом написания формулы отрицания функции и тем, что ,получаем

Это представление носит название совершенной конъюнктивной нормальной формы (с.к.н.ф.). С учетом соглашения о том, что пустая конъюнкция равна 1,оно распространяется на функцию тождественно равную 1.

Для с.к.н.ф. также имеет место теорема единственности, которая формулируется аналогично теореме для с.д.н.ф. Она может быть доказана непосредственно либо на основе теоремы о с.д. н. ф., примененной к функции f.

В качестве упражнения выпишем с.к.н.ф. функции f(x₁,х₂,x₃),задаваемой таблицей 1.1,

12. Понятие днф булевой функции. Импликанта логической функции. Простой импликант. Строение м.Д.Н.Ф.

Описание начнем со случая всюду определенных функций.

Дизъюнктивная нормальная форма называется минимальной (сокращенно МДНФ), если она имеет наименьшую длину среди всех равносильных ей ДНФ.

Пусть имеется логическая функция f(x₁, x₂,...,x_n). Логическая функция

g(x₁, x₂,...,x_n) называется импликантом функции f(x₁, x₂,...,x_n), если для всякого набора (σ_1,….,σ_n) значений аргументов выполнено неравенство

f(σ_1,….,σ_n)? g(σ_1,….,σ_n). Это условие может быть эквивалентно переписано в виде

f(x_1,…., x _n) g(x_1,…., x _n) = g(x _1,…., x _n).

Импликант называется простым, если он представляет собой конъюнкцию переменных (возможно, с отрицаниями) и любая конъюнкция, полученная из него в результате вычеркивания каких-либо переменных, импликантом не является. Легко видеть, что для выяснения того, является ли импликант, имеющий вид конъюнкции, простым, достаточно исследовать наличие импликантов среди конъюнкций, полученных из него вычеркиванием ровно одной переменной (а не их произвольного числа).

К качестве примера рассмотрим функцию f () =. Функция является импликантом, ибо

(мы воспользовались соотношением (А \/ В) А = А). Поскольку не есть конъюнкция, импликант не простой. Конъюнкция также является импликантом. Если из нее вычеркнуть переменную , полученная конъюнкция снова будет импликантом, ибо

Отсюда следует, что импликант не является простым. Легко проверить, что конъюнкции и , полученные из вычеркиванием одной переменной, импликантами не будут. Поэтому представляет собой простой импликант.

13. Доказательство утверждения о том, что минимальная днф (отличная от 0 и 1) является дизъюнкцией некоторых простых импликантов.

Сформулируем теорему о строении м. д. н. ф.

Теорема 2.1.М.д.н.ф. функции, отличной от константы 0 и 1,является дизъюнкцией некоторых простых импликантов.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим произвольную м. д. и. ф. функцииf:

f = (2.9)

Предположим, что некоторая конъюнкция из этого представления, пусть , не является простым импликантом и из нее путем вычеркивания переменной можно образовать импликант . Покажем, что в этом случае функция

(2.10)

совпадает с f. Для этого достаточно убедиться, чтоf иf' обращаются в 1 на одних и тех же наборах.

Рассмотрим произвольный набор (). Поскольку при укорачивании конъюнкции область ее единичных значений не уменьшается, то на этом наборе выполнено неравенство | и, следовательно,

.

Отсюда вытекает, что если = 1, то и = 1.

Обратно, пусть = 1. Это означает, что на наборе () либо , либо . обращается в 1 (то и другое возможно одновременно). Равенство = 1 в первом случае следует из того, что является импликантом, а во втором- из представления (2.9).

Тем самым установлено, что . Это приводит к противоречию, ибо представление (2.10) имеет на одно вхождение переменной меньше, чем м. д. н. ф. (2.9), Теорема доказана.

Кратчайшие д.н.ф. могут состоять и не из простых импликантов. Так, например, для функции д. н. ф. является кратчайшей (так же, как и ), хотя конъюнкция не есть простой импликант. Однако всякая конъюнкция в кратчайшей д.н.ф. может быть заменена простым импликантом, образованным из нее вычеркиванием некоторых переменных. Как следует из доказательства теоремы, такая замена не приводит к изменению функции. В то же время она не увеличивает числа конъюнкций. Таким образом, при построении кратчайших д.н.ф. можно считать, что они образованы из простых импликантов.