Алгебры высказываний и предикатов.

4. Операции над высказываниями, n-местный предикат, его связь с n-арным отношением.

Предикаты и операции над ними

В математики при изучении того или иного множества М зачастую используют предложения, содержащие символы со значениями из М и превращающиеся в истинные или ложные высказывания при замене символов переменными из М. Приведем примеры, взяв в качестве М множество натуральных чисел Nи буквыx,y,zв качестве символов переменных.

Рассмотрим предложение “xесть простое число”,

обозначив его ради краткости через p(x). Ясно, что это предложение не является высказыванием, поскольку о нем нельзя сказать истинно оно или ложно. Приx= 1 оно ложно приx=2, 3 – истинно и т.д. Предложениеp(x) естественнее считать функцией отx, которая при каждом конкретном значенииxизNстановится высказыванием. Такие функции принято называть предикатами. Другими примерами предикатов на множествеNмогут служить предложения:

1. “xесть число, кратное 5”,

2. “Число xне превосходит 7 ”,

3. “Число xимеет хотя бы один делитель”,

4. “Число xудовлетворяет уравнениюx²+x-1=0”,

5. “Произведение чисел x,yбольше ста”,

6. “ Число xделит числоy”,

7. “Число zявляется суммой чиселx,y”,

8. “Число zзаключено между числамиx,y”

и т.д.

По числу переменных, участвующих в предложении, различают 1-местные (или унарные) предикаты, 2-местные ( или бинарные) предикаты, 3-местные (или тернарные) предикаты и т.д.

Определение 1. В общем случае подn-местным (илиn-арным) предикатом на произвольном множестве М принимают всякое предложение, которое содержитnразличных переменных, принимающих значение из М, и превращается в высказывание при замене переменных произвольными элементами из М.

В дальнейшем мы не будем исключать и случай n= 0, понимая под 0-местным предикатом произвольное высказывание.

n-местные предикаты, содержащие символы переменныхx₁,…,x_n, будем обозначать в виде

(x₁,…,x_n),q(x₁,…,x_n),…

Значение α (И или Л) высказывание, получающегося при замене в предикате (x₁,…,x_n) переменныхx₁,…,x_nсоответственно элементамиa₁,…a_n, называют значением предиката в точке (a₁,…a_n), или приx₁=a₁,…,x_n=a_n, записывая это в виде

( a₁,…a_n) ≡ α.

Таким образом, с каждым n-местным предикатомна М сопоставляется отображение множества Мⁿв двухэлементное множество{И,Л}, или ,как говорят, n-местная логическая функция. Предикат зачастую отождествляют с сопоставляемой ему логической функций, в связи с чем появляется возможность дать более строгое определение предиката, как отображения Мⁿв. Нам в данном параграфе будет удобнее стоять на менее строгой точки зрения, понимая под предикатом предложение с переменными.

Связь n-местного предиката с n-арным отношением.

Укажем на связь между понятиями n-местного предиката иn-арного отношения на множестве М. Поn-арному предикатуестественным образом определяетсяn-арное отношениеR:

( a₁,…a_n)R. <=>(a₁,…a_n) ≡ И.

Тем самым устанавливается взаимно однозначное соответствие между множествами всех n-арных отношений и всехn-местных предикатов на множестве М.

5. Модель м() сигнатуры. Способы получения предикатов из предикатов. Квантор всеобщности. Квантор существования.

В связи с этим множество М с системой определенных на нем предикатов  называется, как и множество М с системой отношений, моделью сигнатурыи обозначается в виде М(). Опишем способы позволяющие получать из одних предикатов на множестве М другие предикаты на том же множестве.

1. Пусть (x₁,…,x_n) - произвольный предикат на М. Заменив в нем x₁ некоторым элементом а  М, мы получим новый, (n-1)-местный предикат на М, который будем обозначать в виде

(a,x₂,…,x_n),

или каким-либо иным образом, например

q(x₁,…,x_n).

Так, если (x, y, z) есть трехместный предикат "x+y=z" на N, то

(2, у, z) есть двухместный предикат "2+у=z", который можно записать также в виде предложения: "Число z на две единицы больше числа у".

Аналогично новые предикаты можно получать из предиката (х₁ ... ..., x_n), заменяя в нем какую-либо другую переменную или даже несколько переменных элементами из М. Ясно, что заменив k переменных, мы получим (n-k)-местный предикат.

2. Заменив в предикате (x₁,…,x_n) при n ≥ 2 х₁на х₂, (или, как говорят, отождествив переменные x₁, x₂), мы получим новый предикат который обозначим через

(x₂,x₁, …,x_n)

Ясно, что этот предикат уже содержит n—1 различных переменных, а потому является (n— 1)-местным предикатом.

Например, отождествляя в предикате "x + у=z" на М переменные x, у, получим двухместный предикат "y+у=z" или "2у=z", который можно записать также предложением: "Число z в два раза больше числа у".

Аналогично можно получать из предиката (x₁,…,x_n) новые предикаты, отождествляя какие-либо другие переменные.

3. Учитывая связь понятия предиката с понятием высказывания, можно определить логические операции для предикатов. Так, соединяя два предиката (предложения) , q союзом "или", мы получим новый предикат, который обозначим через  v q и назовем дизъюнкцией предикатов , q. Если  - n-местный, а q - m-местный предикаты, а переменные, входящие в , не входят в q, то  v q будет (n + m)-местным предикатом. Его значение при конкретных значениях переменных равно дизъюнкции соответствующих значений высказываний , q.

Аналогично определяются конъюнкция и импликация предикатов, а также отрицание предиката.

4. Кроме операций &, v, →, для предикатов на множестве можно определить еще логические операции навешивания кванторов всеобщности и существования. Пусть (x)- одноместный предикат на М, т. е. предложение, содержащее переменную x, принимающую значения из М. Построим из него новое предложение, добавив перед ним фразу "Для всех x" и обозначив новое предложение через

 x(x). (1)

Из смысла полученного предложения видно, что оно является высказыванием, которое истинно, если предикат (x) принимает значение "и" при любом значении переменной x из М, и ложно, если  принимает значение "л", хотя бы при одном значении x из М. Символ  называют квантором всеобщности и говорят, что высказывание (1) получено из предиката (x) навешиванием квантора всеобщности по переменной x.

Рассмотрим теперь n-местный предикат (x₁,…,x_n) на множестве М. Добавив к нему фразу "Для всех x₁" или "Для всякого x₁", получим новое предложение, которое обозначим в виде

 x₁(x₁,…,x_n) (2)

Из построения этого предложения видно, что при замене в нем переменных x₁,…,x_n соответственно элементами a₁,…a_n  М получится высказывание

 x₁ (x₁,a₂,…a_n),

которое истинно в том и только том случае, когда высказывание

 (а, a₂,…,a_n) истинно при любом а  М. Таким образом, (2) является (n- 1)-местным предикатом. Говорят, что он получен из предиката  навешиванием квантора всеобщности по переменной x Понятно, что квантор  можно навешивать и по другим переменным.

Добавляя перед предикатом (x₁,…,x_n ), как предложением с переменными x₁,…,x_n фразу "Существуют такое x что", мы получим новое предложение, которое обозначают в виде

 x₁ (x₁,…,x_n) (3)

Подставив в него элементы a₂,…a_n вместо x₂,…,x_n, получим высказывание

 x₁ (x₁,a₂,…,a_n)

которое истинно в том и только том случае, когда высказывание (a,a₂,…,a_n) истинно хотя бы при одном а из И, Следовательно, предложение (3) есть (n- 1)-местный предикат на М.

Символ  называется квантором существования, а о предложении (3) говорят, что оно получено из предиката (x₁,…,x_n) навешиванием квантора существования по переменной x₁. Квантор существования можно навешивать и по другим переменным.

Приведем примеры. Пусть (x, у) есть предикат на множестве N: "x делит у". Тогда предложение  у (x,у) зависит только от переменной x. При x=1 оно принимает значение "и", поскольку 1 делит любое натуральное число. При любом другом значении x из N оно принимает значение "л".

Предложение  x (x,у) зависит только от переменной у и принимает значение "л" при любом значении у, поскольку в N не существует чисел, делящихся на все натуральные числа.

Нетрудно видеть, что предложения

x r(x,у) у (x,у)

зависящие соответственно от у и x, принимают значения "и" при любых значениях указанных переменных.

С помощью рассмотренных выше способов можно из некоторой исходной системы предикатов на множестве М получать все новые и новые предикаты, записываемые в виде различных выражений через исходные предикаты, символы переменных, элементов из М, логических связок &, v, →, ┐, ,  и служебных символов — скобок и запятых. Такие выражения называются формулами. Ниже будет дано точное (индуктивное) определение формулы