8. Доказательство теоремы о разложении логической функции по к переменным.

Разложение по переменным.Пустьx—логическая переменная. При {0,1}введем обозначение

при , при

Легко проверить, что х = 1тогда и только тогда, когда х = . Следовательно, конъюнкция равна 1 на единственном наборе значений аргументов

Следующая теорема позволяет выразить функцию f(x₁, ...,x_n) через функции от меньшего числа аргументов.

Т е о р е м а 1.1(о разложении функций). Всякая логическая функцияf(x₁, ...,x_n) при любомk(1?k?n) может быть представлена в виде

где дизъюнкция берется по всевозможным наборам (σ₁, ...,σ_k) значений аргументов х₁, ...,x_k.

Д о к а з а т е л ь с т в о.Убедимся, что для любого набора (α ₁, ...,α_n) значений аргументов левая и правая части формулы принимают одинаковое значение. Рассмотрим правую часть. Поскольку при (σ₁, α _k =...,σ_k)? (α ₁, ...,α _k) и α ₁, ...,1,то

Эта величина совпадает со значением левой части. Теорема доказана.

Указанное представление функции задаст разложение по переменным x₁, ...,x_k.Его частный случай при

k=1имеет вид

и носит название формулы разложения по переменной.

Иногда будем использовать векторную запись формулы (1.5). Набор переменных x₂,..,x_kобозначим через а набор оставшихся переменных х_k+1, ...,x_n — через . Для конъюнкции будем применять обозначение (, где =(σ₁, ...,σ_k). Тогда разложение (1.5)может быть переписано в виде

(1.6)

где через обозначена функция .

9. Формула разложения по переменной.

10. Доказательство теоремы о представлении двоичной функции в виде сднф.

Совершенная дизъюнктивная нормальная форма.Воспользовавшись теоремой 1.1приk=n, получаем, представление

которое для f(x₁, ...,x_n) ?0может быть преобразовано к виду

Это представление носит название совершенной дизъюнктивной нормальной формы (с.д.н.ф.). С учетом соглашения, что пустая дизъюнкция равна 0,оно может быть распространено и на функцию, тождественно равную нулю.

В качестве примера выпишем с.д.н.ф. для функции f(x₁,х₂,x₃),заданной таблицей 1.1:

С.д.н.ф. обладает следующими свойствами:

1) является дизъюнкцией некоторых конъюнкций

K₁ K₂ . . . К_S;

2) каждая из конъюнкций K_i, имеет вид

K_i=

где n—число переменных функции;

3) все конъюнкции K_i (i= 1, ...,S)различны.

Т е о р е м а 1.2. Представление логической функции, обладающее свойствами 1)—3)определено однозначно и совпадает с с.д.н.ф. этой функции (однозначность понимается с точностью до перестановки конъюнкций).

Доказательство.Пусть имеется представление функцииf(x₁, ...,x_n),обладающее свойствами 1)—3). Запишем его в виде

f(x₁, ...,x_n)= (1.7)

где константа c_{σ1, ...,σn} равна 1или 0в зависимости от того, входит конъюнкция в представление или нет. Подставив в обе части (1.7)произвольный набор (α_1,. . .,α_n)значений аргументов, с учетом того, что на этом наборе в 1обращается единственная конъюнкция приходим к равенству

f(α_1,. . .,α_n)=

Оно показывает, что коэффициенты однозначно определяются функцией.

На основании этой теоремы можно указать еще один способ установления эквивалентности формул. Формулы приводятся к с.д.н.ф. и оказываются эквивалентными тогда и только тогда, когда их с.д.н.ф. совпадают.

Способ приведения формул в базисе {0,1,,~,&, ,—, , } к с.д.н.ф. состоит в следующем. Вначале с использованием представления операций >,~ через операции -, &и осуществляется перевод в базис {0,1,,~,&}. Затем на основе законов де Моргана формула преобразуется к виду, при котором отрицания применяются лишь к элементарным переменнымx_i. Далее в результате раскрытия скобок с использованием свойства дистрибутивности х(у \/z) =ху \/ хzполучается выражение вида дизъюнкции некоторых конъюнкций (1считается конъюнкцией пустого множества переменных. При этом можно пред полагать, что все переменныеXi1…Xip, входящие в состав одной конъюнкции, различны, ибо конъюнкция, содержащая переменную одновременно в формах и равна 0и может быть удалена, а если все вхождения переменной в конъюнкцию одинаковы, то на основе равенства они могут быть заменены одним вхождением. Полученное представление отличается от с. д. н. ф. лишь тем, что в нем конъюнкции могут иметь длину, меньшуюn(т. е. содержать не все переменные). Для приведения к с.д.н.ф. каждая конъюнкцияXi1…Xipдомножается наn—р скобок (\/ ), соответствующих переменным, не входящим в конъюнкцию (напомним, что\/ ? 1).С использованием свойства дистрибутивности осуществляется раскрытие скобок и из множества полученных конъюнкций выбираются все различные.

В качестве примера рассмотрим формулу . Как мы видели, она эквивалентна формуле , которая может быть преобразована так:

Последнее выражение представляет собой с. д. н. ф. функции, реализуемой формулой, и совпадает (с точностью до перестановки конъюнкций) с с. д. н. ф., выписанной выше по таблице 1.1, задающей эту функцию.