6. Термы. Формула на алгебраической системе м() (на предикатах). Свободные и связные переменные в формулах предикатов.

Формулы будут определяться как строчки некоторых символов, или, как говорят, слова в некотором алфавите.

Алфавитом называют произвольное множество попарно различных символов, допускающих такую запись, по которой однозначно восстанавливаются сами символы. Обычно символ отождествляется с любой своей записью, в связи, с чем символы, алфавита называют также его буквами. В математике в качестве символов зачастую используются изображения букв латинского и других алфавитов, изображения цифр, изображения букв с индексами, символы операций +, * , - ,  и др.

Если А={a₁,a₂,…a_n} —алфавит, то любая конечная последовательность

a_i1,a_i2,…,a_im

его букв называется, словом в алфавите А. При этом число m называется длиной слова. Длина слова P обозначается в виде L(P). Для удобства в рассуждениях вводится еще символ  для обозначения пустого слова, т. е. слова, не содержащего ни одной буквы. По определению L() = 0.

Так как слово есть конечная последовательность букв, то можно все буквы в слове естественным образом занумеровать и говорить о 1-й, 2-й и т. д. буквах слова. Обычно слова записывают в строчки, а буквы в них нумеруют слева направо. Два слова называются равными, или графически равными, если они имеют одинаковую длину и соответствующие их буквы равны. Равенство слов будем обозначать знаком =. Множество всех слов и всех слов длины m в алфавите А обозначим соответственно через W(А) и W_m(A).

На множестве W(А) можно ввести операцию умножения (или приписывания) слов, взяв в качестве произведения слов P, Q слово РQ, полученное приписыванием слова Q справа к слову Р.

Говорят, что слово Р является подсловом слова Q, если существуют такие слова L, R (возможно пустые), что

Q=LPR.

В этом случае говорят также, что слово Р входит, или имеет вхождение, в слово Q. Может оказаться, что указанная выше пара слов L, R находится по словам Р и Q неоднозначно. Выпишем все такие различные пары слов (L_i, R_i) и упорядочим их по возрастанию длины слова L_i. Получим:

Q=L₁PR₁= L₂PR₂=…= L_sPR_s

В этом случае говорят, что имеется s вхождений слова Р в слово Q и все эти вхождения упорядочивают по возрастанию длины слова L_i. В соответствии с этим говорят о 1-м, 2-м и т. д. вхождениях олова Р в Q. Например, слово "арарат" содержит два вхождения слова "ара". В следующей записи 1-е и 2-е вхождения слово "ара" подчеркнуты соответственно одной и двумя черточками снизу:

"арарат".

Перейдем теперь к определению формул алгебры предикатов на алгебраической системе М(). Сигнатуру  представим в виде объединения  = ₁₂, где ₁, — множестве символов операций, а ₂— непустое множество символов предикатов на М. В частности, множество s₁, может быть и пустым. Обозначим через s₀ подмножество из s₁, обозначений всех нуль-арных операций, т. е. выделенных элементов множества М. Оно может быть любым подмножеством из М. При определении формулы в качестве обозначений будут использоваться различные буквы (возможно, с индексами): а, b, с для элементов из s₀; ƒ, , ψ для элементов из s₁; , q для элементов из s₂. Кроме того, будут использоваться: множество X символов предметных переменных со значениями из М, обозначаемых буквами x, y, z, u, v (возможно, с индексами); множество О логических операций &, v, →, ┐, ,  и служебных символов-скобок и запятых. Таким образом, алфавитом при построении формул будет служить множество

=   X  O

В конкретных примерах для операций и предикатов будут использоваться также общепринятые обозначения: +, , *, =,  и т.д. Определим предварительно понятие терма на системе М ( ).

Определение

1. Каждый символ переменного из Х или константы из s₀ есть терм.