16. Доказательство теоремы о представлении двоичной функции в виде полинома Жегалкина.

Полином Жегалкина.Еще одно важное представление логических функций получается с использованием операций конъюнкции и суммирования поmod 2.

Отметим, что сумма по mod 2обладает обычными свойствами:x₁x₂=x₂ x₁(коммутативность),x₁ (x₂ x₃) =(x₁ x₂) x₃(ассоциативность), x₁(x₂хз)=x₁x₂x₁x₃(дистрибутивность). На основе свойства ассоциативности можно рассматривать многоместную операциюЗначение этой суммы равно 1тогда и только тогда, когда в наборе значениеx_2,…,x_nпеременныхx_1,имеется нечетное число единиц. Заметим, что если в наборе значений переменныхx_1,x_2,…,x_nприсутствует не более одной единицы, то совпадает с _.

Рассмотрим теперь произвольную функцию f(x₁, ...,x_n)0 и выразим ее посредством с.д. н. ф.:

На каждом наборе (α_1,. . .,α_n) в 1 обращается не более одной из конъюнкцийx₁, ...,x_n, входящих в

с.д.н.ф. Поэтому внешняя дизъюнкция может быть заменена суммой по mod 2:

, (такие что далее тоже

Далее, поскольку , то . Подставив вместо выражение , получим

Обычным образом раскрыв скобки и приведя подобные члены по правилу AА = 0,придем к представлению функции в виде полинома поmod 2:

где коэффициенты равны 0или 1.Пустая конъюнкция считается равной 1,так что коэффициент, соответствующий пустому множеству индексовi₁, ...,i_s, представляет собой свободный член полинома. Указанное представление носит название полинома Жегалкина. Для функции, тождественно равной нулю, в качестве полинома берется 0.

Построим полином Жегалкина для функции, заданной таблицей 1.1. Имеем

f(x₁,х₂,x₃)= (x₁1)(x₂1)(x₃ 1)(x₁1)(x₁1)x₃x₁(x₂1)(x₃1)x₁(x₂1)x₃x₁x₂x₃

Для преобразования этого выражения могут быть использованы обычные приемы элементарной алгебры

(специфичным является лишь приведение подобных членов по правилу АА =0). В частности, применяя группировку членов и вынесение за скобки, получаем

f () = () () ()

() ()=

=()()()=

= ()()=.

Теорема 1.3. Всякая логическая функция может быть представлена в виде полинома Жегалкина единственным образом.

Доказательство. Существование полинома для любой функции было установлено, докажем единственность.

Подсчитаем количество полиномов от переменных ,...,. Число различных конъюнкций ,...,совпадает с числом подмножеств множества {1, ...,n} и равно (пустому подмножеству соответствует пустая конъюнкция, равная 1). Полином задается множеством конъюнкций, входящих в него с коэффициентом 1 (пустому множеству конъюнкций соответствует полином, равный 0). Число полиномов определяется числом этих множеств и составляет .

Всякой функции от n аргументов соответствует некоторый полином Жегалкина, и разным функциям отвечают разные полиномы. Поскольку число функций отnаргументов совпадает с числом полиномов, то если бы какая-либо функция имела несколько полиномов, для некоторых функций полиномов не хватило бы. Теорема доказана.

Представления, описанные в данном параграфе, играют важную роль и широко используются в различных областях, связанных с конструированием дискретных устройств.