5.1. Принятие логистических решений в условиях неопределенности

Существует ряд стандартных логистических задач, разрешить которые можно с применением аппарата, разработанного в теории игр. Теория игр рассматривает задачи выбора оптимального поведения с учетом возможных действий других участников и случайных событий. Простейшей игровой ситуацией является такая, когда имеются два участника игры, преследующие противоположные интересы. Такая игра называется антагонистической. Если выигрыш одного игрока в точности равен проигрышу другого и каждый из них стремится максимизировать свой выигрыш (или, что то же самое, минимизировать свой проигрыш), то такая игра называется игрой с нулевой суммой. В антагонистических играх неопределенность для каждого игрока состоит в том, что заранее неизвестно, какую стратегию выберет в каждой партии его противник. Но часто возникают ситуации, когда принимать управленческие решения приходится в условиях неопределенности.

Принятие решений в таких условиях носит название «игра с природой» и изучается теорией статистических решений. Природа рассматривается здесь как объективная действительность, поведение которой, в том числе ее реакция на вмешательство человека в естественный ход природных процессов, определяется присущими ей закономерностями, которые, естественно, не содержат элементов сознательного противодействия целенаправленным действиям.

Необходимо подчеркнуть, что «природа» – не только природные климатические явления, но комплекс неопределенностей, связанных с состоянием техники, настроением и здоровьем людей, т. е. не зависящих от лица, принимающего решения. Различные комбинации условий, которые могут встретиться при выполнении планируемого мероприятия, называются состояниями природы. Неопределенность ситуации состоит в том, что мы не знаем, в каком из возможных состояний будет находиться природа в момент реализации управленческого решения.

Задача 5.1. Строительно-монтажное управление заключило договор с заводом железобетонных изделий на централизованную поставку раствора ежедневно на сумму 100 у.д.е. Если в течение дня раствор не поступает, СМУ несет убытки в размере 400 у.д.е. от простоя рабочих. СМУ может послать поставщику свой транспорт (дополнительные расходы 50 у.д.е.), однако опыт показывает, что в половине случаев транспорт возвращается ни с чем. Можно, правда, увеличить вероятность получения раствора до 80%, если предварительно посылать на завод своего представителя, однако это требует дополнительных расходов в 40 у.д.е. Существует возможность заказать дневную норму раствора у другого, вполне надежного поставщика по цене, повышенной на 50%, однако кроме расходов на транспорт (50 у.д.е.) возможны дополнительные издержки в размере 30 у.д.е., связанные с сверхурочной работой бригад, реализующих лишний раствор, если в тот же день поступит и централизованная поставка. Какой стратегии следует придерживаться СМУ, если заранее неизвестно, поступит или не поступит централизованная поставка?

Решение 5.1. Прежде всего перечислим возможные стратегии поставщика. Их две: П₁ – поставка своевременная, П₂ – поставки нет. У СМУ, согласно условию задачи, четыре стратегии: С₁ – не предпринимать никаких дополнительных мер; С₂ – послать к поставщику свой транспорт; С₃ – послать к поставщику своего представителя и транспорт; C₄ – заказать дополнительно раствор на другом заводе железобетонных изделий. Всего возможны 8 ситуаций, описывающие все комбинации из четырех стратегий СМУ и двух стратегий завода-поставщика. Эти ситуации и сопутствующие им убытки и расходы СМУ представлены в табл. 43 и 44. Если в общем случае у первого игрока m возможных стратегий, а у второго – n стратегий, то всегда образуется mn возможных ситуаций, каждой из которых соответствует определенный платеж одного игрока другому.

Таблица 43

Возможные дневные затраты СМУ, у.д.е.

Ситуация	Дневные затраты СМУ
	стоимость раствора	убытки от простоя рабочих	транспортные затраты	командир-вочные расходы	издержки реализации излишнего раствора	всего в день
C1-П1	100	0	0	0	0	100
C1-П2	0	400	0	0	0	400
C2-П1	100	0	50	0	0	150
С2-П2	50	200	50	0	0	300
С3-П1	100	0	50	40	0	190
С3-П2	80	80	50	40	0	250
C4-П2	250	0	50	0	30	330
С4-П2	150	0	50	0	0	200

Таблица 44

Стратегии завода ЖБИ

Стратегия СМУ	Стратегия завода железобетонных изделий
	П1	П2
C1	–100	– 400
С2	–150	– 300
С3	–190	– 250
С4	–330	– 200

При большом количестве ситуаций таблица ситуаций становится громоздкой и труднообозримой, удобнее перейти от нее к платежной матрице. Для этого составляется прямоугольная матрица, имеющая m строк (по числу стратегий первого игрока) и n столбцов (по числу стратегий второго игрока). На пересечении i-й строки и j-го столбца ставится платеж второго игрока первому в ситуации, когда применены m-я стратегия первым игроком и n-я стратегия – вторым. Если в данной ситуации выигрывает второй игрок, то платеж будет иметь знак «минус». Платежная матрица нашей игры размерностью 4х2 представлена в табл. 45. Все платежи имеют знак минус, так как обозначают в нашем примере затраты СМУ.

Задача руководства СМУ – определить оптимальную стратегию, обеспечивающую минимум ожидаемых убытков в условиях неопределенности относительно поведения поставщика.

Выбор стратегии поведения СМУ в условиях, описанных в табл. 43, зависит от надежности поставщика, выраженной количественно в терминах вероятности. Пусть, например, она равна 40% (это означает, что своевременная поставка имеет место с вероятностью 0,4). Тогда ожидаемые убытки (отрицательный выигрыш) СМУ при применении первой чистой стратегии С₁ равны: E₁(0,4) = –100 0,4 – 400 0,6= – 280 у.д.е., а при применении четвертой стратегии равны E4= – 330 0,4 – 200 0,6= – 252 у.д.е. Мы видим, что расходы снизились; если рассчитать убытки при применении других стратегий, то окажется, что оптимальной будет стратегия С₃. Действительно, применяя вторую стратегию, СМУ будет нести расходы, равные E₂ (0,4) = –50 0,4 – –300 0,6= –240 у.д.е., используя же третью стратегию, – только E₃ (0,4)= = –190 0,4 – 250 0,6= –226 у.д.е.

Дадим рассмотренной игре геометрическую интерпретацию. Отложим по горизонтальной оси надежность поставщика, измеряемую вероятностями в диапазоне от 0 до 1 и обозначим ее Y₁. Величина Y₂=1 –Y₁ есть, таким образом, величина ненадежности поставщика. Числа Y₁ и Y₂, равные в сумме единице, показывают, с какой вероятностью применяются поставщиком чистые стратегии П₁ и П₂ в каждой партии. Совокупность стратегий П₁ и П₂, имеющих оценку в виде вероятностей Y₁ и Y₂ их осуществления, называется смешанной стратегией. Точки Y₁=0 и Y₁=1 на рис. 24 соответствуют второй и первой чистым стратегиям поставщика, а все точки 0<Y₁<1 внутри отрезка соответствуют смешанным стратегиям. Понятно, что смешанных стратегий у любого игрока бесчисленное множество. Построим графики ожидаемых затрат СМУ при применении своих чистых стратегий против смешанных стратегий поставщика. Построение начнем с четвертой стратегии. Если поставщик абсолютно надежен (т. е. применяет всегда стратегию П1 и, значит, Y₁=1, _Y2=0), затраты СМУ равны в соответствии с платежной матрицей –330 у.д.е. Отложим на графике точку с координатами (1; –330). Если поставщик абсолютно ненадежен (т е. всегда применяет стратегию П₂; Y₁=0, Y₂=1), тогда затраты СМУ равны -200 у.д.е. и нужно отложить точку с координатами (0; –200).

Если надежность поставщика 0<Y₁<1, тогда ежедневные затраты СМУ, применяющего четвертую стратегию против смешанной стратегии поставщика, зависят от вероятности Y₁ и равны

E4(Y1)= – 330Y1 – 200(1 – Y1)= – 200 – 130Y1.

(5.1)

Эта функция изображается прямой линией, обозначенной С4. Аналогично этому строятся графики функций ожидаемых затрат СМУ при применении каждой чистой стратегии против смешанной стратегии поставщика.

E1(Y1)= – 400+300Y1;	(5.2)
E2(Y1)= – 300+150Y1;	(5.3)
E3(Y1)= - 250+60Y1.	(5.4)

При надежности поставщика Y₁ =0,4 до пересечения с линиями функций ожидаемых затрат СМУ обнаружим, что оптимальной будет стратегия C₃, обеспечивающая минимальные затраты – 226 у.д.е. (рис. 21).

Из рис. 21 видно, что если надежность поставщика Y₁<0,263, выгоднее всего применять четвертую стратегию; при надежности поставщика 0,263Y₁0,555 оптимальной стратегией является третья; при 0,555Y₁0,667 – вторая; и, наконец, при 0,667Y₁1 – первая. Эти критические значения надежности получены из совместного решения уравнений, взятых попарно: (5.3) и (5.4) – точка b, (5.2) и (5.3) – точка с, (5.1) и (5.2) – точка d. Ломаная линия abcde показывает, как изменяются затраты СМУ при изменении надежности поставщика от 0 до 1. Как видно из графика, увеличение надежности поставщика не приводит к автоматическому уменьшению расходов СМУ. Действительно, когда надежность поставщика растет от 0 до 0,263, затраты СМУ возрастают от – 200 руб. до E₄(0,263) = –200 – 130 0,263 = –234,2 у.д.е.

Увеличение затрат вызвано тем, что раствор закупается у другого поставщика, а нерегулярные поставки основного поставщика (с вероятностью Y₁ =0,253) приводят к дополнительным затратам. При надежности поставщика Y₁ = 0,263 затраты СМУ максимальны из всех возможных при разумном выборе СМУ своих стратегий. Если бы игра была антагонистической, т. е. поставщик стремился нанести СМУ максимальный ущерб, его оптимальная надежность должна была бы равняться Y₁ = 0,263. При этом затраты СМУ составили бы – 234,2 у.д.е. и оптимальными были бы стратегии С₃ и C₄ (точка b находится на пересечениях линий С₃ и С₄).

Для выбора смешанной стратегии СМУ рассмотрим квадратную подматрицу исходной платежной матрицы, получающуюся после исключения первой и второй стратегий (табл. 45). Эти стратегии исключаются, потому что в антагонистической игре поставщик будет обеспечивать нерегулярные поставки раствора с надежностью 0,263, а против такой его смешанной стратегии первая и вторая стратегии СМУ неэффективны, так как при их применении расходы резко возрастают (до – 321,1 и – 260,6 у.д.е. соответственно).

Таблица 45

Платежная матрица

Стратегии СМУ	Стратегии поставщика
	П1	П2
С3	–190	–250
С4	–330	–200

Построим графики затрат СМУ, применяющего свою смешанную стратегию, состоящую из чистых стратегий С₃ и С₄, против каждой чистой стратегии поставщика (рис. 22). Обозначим через Х₃ вероятность применения стратегии С₃, а через X₄ – вероятность применения стратегии С₄, заметим, что при Х₃=0 Х₄=1; при Х₃=1 Х₄=0 и Х₃+Х₄=1. Из графика, видно, что оптимальная смешанная стратегия СМУ включает стратегии С₃ и С₄, применяемые с вероятностью Х₃ = 0,685 и Х₄*= 0,315. Оптимальные затраты СМУ (называемые в случае антагонистической игры ценой игры) равны ординате точки пересечения q. Подстановка Х₃* =0,685 в любое из уравнений прямых Е₂(Х₃) = – 200 – 50Х₃ или E₁(Х₃) = – 330 + 140Х₃ дает то же значение затрат – 234,2 руб., рассчитанное раньше. Из рис. 22 видно, что в антагонистической игре СМУ не следует отступать от своей оптимальной смешанной стратегии X₁*=X₂*=Q; Х₃*= 0,685; Х₄*= 0,315, поскольку затраты возрастут (в направлении утолщенных линий). При Х₃<0,685 поставщик станет применять чистую стратегию П₁, при Х₃> 0,685 – чистую стратегию П₂.

Итак, если бы игра была антагонистической (т. е. каждый из игроков стремился нанести противнику максимальный ущерб), игрокам следует рекомендовать такие оптимальные стратегии: строительно-монтажному управлению – Х₁*=Х₂*=0, Х₃* = 0,685, Х₄* = 0,315; заводу железобетонных изделий – Y₁ =0,263, Y₂* = 0,737. При этом цена игры (т. е. ожидаемые оптимальные затраты СМУ) равна – 234,2 у.д.е.

Так как в действительности игра не антагонистическая, то такое ее решение является не совсем верным, так как лишает СМУ возможности снизить затраты по сравнению с оптимальными. Действительно, поставщик не стремится нанести СМУ максимальный ущерб, и поэтому его надежность может быть любой, совсем необязательно наихудшей с точки зрения СМУ (как мы видели выше, наихудшая для СМУ надежность поставщика равна 0,263).

Таким образом, особенностью решения игр с природой в условиях определенности является то, что смешанная стратегия природы задана, т. е. известны все вероятности состояний Y_j, j=1, 2, …, n;

Это позволяет для каждой i-й чистой стратегии активного игрока рассчитать математическое ожидание его выигрыша против известной смешанной стратегии природы по формуле

Ei(Y1, …, Yj, …, Yn) = ,

(5.5)

где a_ij – элемент платежной матрицы, расположенный на пересечении i-й строки и j-го столбца.

Максимальный элемент в рассчитанном столбце математических ожиданий выигрышей определяет наивыгоднейшую стратегию активного игрока и численно равен максимально возможному выигрышу

.

(5.6)

Если максимальных элементов в этом столбце два или более, то могут применяться соответствующие им стратегии как в чистом виде, так и в любой смеси друг с другом. Такой подход для решения игр против природы возможен только в том случае, когда вероятности тех или иных состояний природы заданы. Чаще всего приходится принимать решения в условиях отсутствия информации о таких вероятностях.

При выборе рациональной стратегии поведения в условиях неопределенности, при отсутствии необходимой статистической информации используют игровые модели на основе минимаксных стратегий.

1 Этап. Составляется матрица возможных результатов, являющаяся следствием выбранной линии поведения (S) и состояния внешних факторов (R) (табл. 46).

Таблица 46

Анализ выбранной стратегии в условиях неопределенности

Вариант поведения	Результат в зависимости от состояния внешних факторов (Rj )
(Si )	R1	R2	R3	i = min xij	W	i= max xij
S1	X11	X12	X13
S2	X21	X22	X23
S3	X31	X32	Xij
j=max xij

2. Этап. При отсутствии информации о среднем значении внешних факторов оценка результата затруднена. Для выбора используются критерии теории игр.

Согласно критерию Лапласа различным состояниям R можно приписать равные вероятности наступления – 1/j. Критерием выбора стратегии выступает максимизация математического ожидания

. (5.7)

В соответствии с критерием Вальда субъект, принимающий решение, избирает чистую стратегию, гарантирующую ему наибольший (максимальный) вариант из всех наихудших (минимальных) возможных исходов действия по каждой стратегии. На этой основе получается решение, определяемое как

. (5.8)

Стратегия S₁ называется максиминной, т.к. при любом состоянии внешних факторов результат будет не хуже, чем W.

Согласно критерию Гурвица при выборе решения разумней придерживаться некоторой промежуточной позиции.

В соответствии с этим компромиссным критерием для каждого решения определяется линейная комбинация минимального и максимального выигрышей

, (5.9)

где a – показатель пессимизма-оптимизма, принимающий значения 0 a 1,

Чтобы оценить, насколько то или иное состояние природы влияет на исход в соответствии с критерием Сэвиджа вводится показатель риска(r_ij), определяемый как разность между максимально возможным выигрышем при данном состоянии (R_j) и выигрышем при выбранной стратегии (S_i)

; при , (5.10)

где r_ij – показатель риска; _j – максимально возможный выигрыш; x _ij – выигрыш при выбранной стратегии.

На этой основе строят матрицу рисков, которая показывает сожаление между действительным выбором и наиболее благоприятным, если бы были известны намерения природы. Затем выбирается такая стратегия, при которой величина риска принимает минимальное значение в самой неблагоприятной ситуации

, (5.11)

где r_ij - показатель риска.

Задача 5.2. Инвестиционно-финансовая строительная компания “Клен” изучает возможность постройки гостиничного комплекса. Рассматриваются 4 стратегии застройки:

– S₁ : Строительство 20 номеров.

– S₂ : Строительство 30 номеров.

– S₃ : Строительство 40 номеров

– S₄ : Строительство 50 номеров.

Возможный ежегодный доход D_ij зависит от стратегии строительства S_i – числа построенных номеров и от состояния факторов внешней среды R_j (конъюнктуры рынка) – числа занятых номеров.

. (5.12)

На основании приведенных ниже данных о значениях затрат, связанных со строительством, и информации о предполагаемом доходе необходимо обосновать выбор стратегии, используя критерии Гурвица, Вальда, Лапласа и Сэвиджа (табл. 47).

Таблица 47

Затраты и доходы, связанные со строительством

гостиничного комплекса, у.д.е.

Ежегодные постоянные затраты	Величина
Стоимость земельного участка	10 000
Благоустройство территории	1 500
Охрана территории	6 000
Уборка территории	8 000
Итого	25 500
Ежегодные переменные затраты, пропорциональные числу построенных номеров
Количество номеров	10		20		30			40	50
Постройка, меблировка номеров	40 000		80 000		120 000			160 000	200 000
Обслуживание номеров	6 000		12 000		18 000			24 000	30 000
Ремонт номеров	1 500		3 000		4 500			6 000	7 500
Страхование номеров	250		500		750			1 000	1 250
Итого	47 750		95 500		143 250			191 000	238 750
Ежегодные переменные затраты, пропорциональные числу занятых номеров.
Количество номеров	10		20	30		40				50
Уборка	18 000		36 000	54 000		72 000				90 000
Электричество	18 000		36 000	54 000		72 000				90 000
Итого	36 000		72 000	108 000		144 000				180 000
Доходы от сдачи в наем
Количество номеров	10	20		30			40		50
Доходы	219 000	438 000		657 000			876 000		1 095 000

Решение 5.2. На основании этих цифр можно получит таблицу ежегодного дохода для различных значений числа построенных комнат S и занятых комнат R (табл. 48).

Таблица 48

Ежегодный доход в зависимости от числа построенных и занятых

номеров, тыс. у.д.е.

Доход	R=0	R=10	R=20	R=30	R=40	R=50
S=20	–121	62	245	245	245	245
S=30	–168,75	14,25	197,25	380,25	380,25	380,25
S=40	–216,25	–33,5	149,5	332,5	515,5	515,5
S=50	–264,25	–81,25	101,75	248,75	467,75	650,75

Согласно критерию Лапласа, приписывая равные вероятности возможным состояниям внешних факторов R, компания должна выбрать вариант строительства 40 номеров, т.к. он обеспечивает наибольший вероятный доход Dвер.40=210.5 тыс. у.д.е.(табл. 49).

Таблица 49

Определение ожидаемого дохода по критерию Лапласа

Число построенных комнат	Вычисление вероятного дохода	Результат
S=20	Dвер.20= j (Ds20j 1/6)	153,5
S=30	Dвер.30= j (Ds30j 1/6)	197,25
S=40	Dвер. 40= j (Ds40j 1/6)	210,5
S=50	Dвер.50=j (Ds50j 1/6)	193,5

Руководствуясь максиминным критерием Вальда (табл. 50), фирма скорее всего выберет вариант строительства 20 номеров, гарантирующий убыток не более 121 тыс. у.д.е.

Таблица 50

Вычисление максиминного критерия

Число построенных комнат	Нахождения минимального дохода	Результат, тыс. ден.ед.
S=20	[minDs20j]	–121
S=30	[minDs30j]	–168,75
S=40	[minDs40j]	–216,5
S=50	[minDs50j]	–264,25
Максиминная стратегия		Ds20=–121

В соответствии с критерием Гурвица при коэффициенте оптимизма x=50% предпочтительней вариант строительства 50 номеров (табл.51).

Таблица 51

Определение показателя оптимизма-пессимизма

Число построенных комнат	Вычисление показателя Гурвица	Результат, тыс.ден.ед.
S=20	xmaxDs20j+(1–x)minDs20j	62
S=30	xmaxDs30j+(1–x)minDs30j	105,75
S=40	xmaxDs40j+(1–x)minDs40j	149,50
S=50	xmaxDs50j+(1–x)minDs50j	193,25
Наибольшее значение показателя Гурвица		POKs50=193,25

Используя критерий Сэвиджа, подсчитаем функцию сожаления для различных вариантов стратегии строительства (табл. 52). Получается, что выбирая стратегию S=40 фирма будет иметь сожаление не больше 135,25 тыс. у.д.е.

Таблица 52

Определение функции сожаления

	R=0	R=10	R=20	R=30	R=40	R=50	maxLij
S=20	0	0	0	–135,25	–270,5	–405,75	–405,75
S=30	–47,75	–47,75	–47,75	0	–132,25	–270,50	–270,50
S=40	–95,50	–95,50	–95,50	–47,75	0	–132,25	–135,25
S=50	–143,25	–143,25	–143,25	–95,50	–47,75	0	–143,25

В другой формулировке стратегия строительства 40 номеров обеспечивает минимальное значение риска, понимаемого как минимакс ожидаемого сожаления.

В результате анализа ситуации, используя 4 критерия, фирма должна выбрать стратегию строительства 40 номеров.