Часть 3. Построение двумерных регрессионных моделей матричным способом.

Регрессионные модели могут строиться двумя способами: матричным способом (метод наименьших квадратов) либо методом линеаризации нелинейных моделей путем замены переменных и логарифмированием. Рассмотрим наиболее универсальный и компактный матричный способ, используем данные по 30 областям: число преступлений с насильственными действиями в отношении потерпевших и число женщин, совершивших преступление в 2005 году (см. таблицу на стр. 7). Согласно методу наименьших квадратов, значение b_i получаются решением матричного уравнения: . Здесь (n×1), остальные матрицы различаются в зависимости от модели. В процессе нахождения b_i используются встроенные матричные функции Excel ТРАНСП(), МУМНОЖ(), МОБР().

1. Линейная двумерная модель.

Уравнение линейной регрессионной модели выглядит следующим образом ŷ = b₀ + b₁ * x. Матрица Х = (2×1), а _(2×1).

x		y	ŷ
1	637	262	423,6
1	2905	941	1010
1	2966	1128	1025
1	3407	677	1139
1	3539	1152	1173
1	3557	917	1178
1	3973	1496	1285
1	3986	1875	1289
1	4145	1689	1330
1	4482	1020	1417
1	5611	1144	1709
1	5862	5107	1773
1	5889	704	1780
1	6920	1125	2047
1	6986	2687	2064
1	7028	2058	2075
1	7117	3358	2098
1	7445	4613	2182
1	7643	1880	2234
1	7687	1490	2245
1	8500	1763	2455
1	9332	2922	2670
1	9364	1606	2678
1	9747	1364	2777
1	10075	1527	2862
1	10262	2174	2910
1	12107	1770	3387
1	14272	5768	3946
1	15460	5067	4253
1	19771	5497	5367

Используя формулу, предпринимаем следующие шаги:

1. Транспонируем матрицу Х, получаем Х^Т.

2. Транспонированную матрицу Х^Т умножаем на матрицу Х, получаем Х^Т * Х.

3. Ищем обратную матрицу (Х^Т * Х)^-1

4. Обратную матрицу умножаем на транспонированную, получаем (Х^Т * Х)^-1* Х^Т

5. Находим матрицу В, умножая (Х^Т * Х)^-1* Х^Т на Y справа.

(Сходный алгоритм используется и в нелинейных регрессионных моделях). Найденная матрица В выглядит так: B = . Таким образом, регрессионное уравнение линейной модели следующее: ŷ = 0,258 * x + 259. Построим график модели: