Тема №3 «Решение дифференциальных уравнений равновесия совместно с условием пластичности»

7. Метод решения без использования кинематических уравнений и уравнений связи между напряжениями и скоростями деформаций (деформациями).

8. Метод решения с использованием кинематических уравнений и уравнений связи между напряжениями и скоростями деформаций (деформациями).

Метод применяется для решения осесимметричных или плоских задач (плоского деформирования состояния; плоского напряженного состояния)

Основные допущения, приемы и алгоритм метода:

1. Задачу приводят к осесимметричной или плоской. При сложной форме деформируемого тела его разбивают на ряд объемов, которые считают пребывающими в осесимметричном или плоском деформированном состоянии.

2. Распределение нормальных напряжений определяют только для контактной поверхности при отказе от выявления напряжений внутри тела.

3. Дифференциальные уравнения равновесия упрощают, в результате число этих уравнений сокращается до одного, которое обычно содержит простые производные взамен частных, как в точных уравнениях.

4. Условия пластичности используют также приближенные.

Напомним точные дифференциальные уравнения равновесия:

Если напряжение на контактной поверхности не зависят от Z то

и

Если принять линейную зависимость:, то в итоге в место двух уравнений получим одно:

. (2)

Уравнение (2) есть приближенное уравнение равновесия, полученное путем применения упрощающих допущений.

Условия пластичности:

при плоской деформации- .

Приближенное условие:

=>

или

=>

=>

Плоское деформированное состояние

=>

Уравнение (2) с учетом условия пластичности преобразуется к виду:

. (3)

Для решения последнего уравнения относительного ,считают удовлетворяющим определенной зависимости.

Трение при пластическом формоизменении – есть процесс сложного взаимодействия упругодеформированного инструмента и упруго-пластически деформированного металлического тела.

Это взаимодействие может быть непосредственным или опосредованным третьими веществами, например смазками. При решении задач, трение, как взаимодействие тел выражают элементарными силами .

записывают различным образом:

Закон Амонтона-Кулона

, где σ – нормальное контактное напряжение, μ_н коэффициент трения

, где τ_s – напряжение течения металла при сдвиге

Закон Зибеля

В работах Гуляева Ю.Р., Друяна В.М.

, где

где – скорость деформации сдвига в плоскости параллельной касательной к элементу поверхности,Н – интенсивность скорости деформации сдвига.

Формула Леванова

–коэффициент трения см. в книге:

Леванов А.Н., Колмогоров А.Л., Буркин С.П. и др. Контактное трение в процессах ОМД; Металлургия 1976, 416 с.

2. Допущения метода решения приближенных уравнений равновесия, состояния пластичности, кинематических и связи между напряжениями и скоростями (деформаций).

см. книга А.Г. Овчинников

Основы теории штамповки выдавливанием на прессах М. Машиностроение 1983, 200 с., с ил.

1. Напряженно-деформированное состояние заготовки или ее частей представляется плоским или осесимметричным.

2. Очаг пластической деформации представляется в виде отдельных областей, так чтобы в каждой из них можно было применить гипотезу плоских сечений.

Благодаря этому упрощению одну из скоростей течения (пояснить) удается выразить в функции одной координаты (если скорость- функция двух и более координат, то решение получается громоздким и трудоемким).

Для определения другой составляющей скорости используют условие несжимаемости металла.

3. В каждой области определяют среднее значение интенсивности скоростей деформаций (деформаций при холодной), которое считается постоянным для области в процессе решения.

Напряжение течения выбирают по среднему значению интенсивности скоростей деформаций (интенсивности деформации при холодной).

4. На границах областей допускаются разрывы скоростей сдвига, нормальных скоростей, при соблюдении условия постоянства расхода (отсутствие разрыва скоростей в интегральной форме).

5. Касательные напряжения на контактных поверхностях заготовки и инструмента принимают в форме какого-либо закона.

6. Дифференциальные уравнения интегрируют с использованием приближенных методов.

7. Размеры очага деформации в заготовке определяют с использованием приближенных методов на основе минимизации мощности или работы пластической деформации.

Условие несжимаемости для осесимметричного НДС:

или , или;

или ;

для плоского НДС:

или ;

или .

Условия несжимаемости следуют из гипотезы постоянства объема при пластическом формоизменении металлической заготовки

где υ_z, υ_ρ и т.д. функции описывающие составляющие скорости течения частиц вдоль соответствующих осей координат.

u_z, u_ρ – функции описывающие составляющие перемещения частиц вдоль соответствующих осей.

Пример:

Пусть

(1)

при где

при

где a– коэффициент определяется граничными условиями и экспериментально.

Рис.1 Схема продольной осадки цилиндра:

1 – зона затрудненной деформации; υ_д – скорость деформирования.

Выбранное выражение для υ_z удовлетворяет граничным условиям. При z=0, υ_z=0, при ,.

После подстановки (1) в условие несжимаемости и его интегрирования с граничным условием ρ=0 υ_д=0 получим:

. (2)

(1) и (2) вместе так называемое кинематически возможное поле скоростей течения. Оно удовлетворяет условию несжимаемости и граничным условиям.

Функции υ_z и υ_ρ – называются подходящими функциями.

Уравнения связи:

и т.д.

Кинематические уравнения:

; ;

сдвиговые

компоненты

тензора скоростей деформаций

и т.д.

Алгоритм применения метода.

1. Формулировка и определение кинематически возможного поля скоростей для области тела

2. Определение по кинематическим уравнениям функций: ,,или,,и т.д. и среднего значения для каждой области интенсивностискоростей деформаций ( или).

3. Выборпо диаграмме деформирования.

4. Запись уравнений связи.

5. Запись и решение дифференциальных уравнений равновесия. Последние решают относительно .

6. Окончательная запись уравнений связи.

7. Расчет напряжений для отдельных частиц и построение эпюр нормальных контактных напряжений.

8. Расчет силы деформирования

9. Расчет полей напряжений ,,,и т.д.