Упрощение аргумента Если – корни функции , тогда

. (2.9)

Доказательство

Функция отлична от нуля только вблизи точек , в этих точках она бесконечна.

Для нахождения веса, с которым входит бесконечность, интегрируем произведение с гладкой функцией по интервалу . Не равны нулю вклады только в окрестности точек

.

В малой окрестности разлагаем в ряд Тейлора

,

и ограничиваемся первыми двумя слагаемыми

.

Используем (2.8)

,

тогда

.

Сравниваем подынтегральные функции и получаем (2.9).

Свойства производной от дельта-функции

Четность. Из (2.2а)

получаем

,

,

,

.

Фильтрующее свойство. Выполняется

, , (2.10)

Доказательство

Интегрируем (2.10) по частям, используя

,

где

, ,

, .

Получаем

,

где учтено .

Доказать самостоятельно:

, (2.11)

,

. (2.13)

Свертка

Из определения свертки (1.22)

,

при получаем

.

Полагаем , и находим

, (2.14)

где использовано (2.13).

Интегральное представление

Выполняется

. (2.24)

Доказательство

Вычисляем

Учтено, что при и конечном L

.

При функция с ростом L колеблется около нуля с частотой пропорциональной L, и ее среднее значение равно нулю.

Функция удовлетворяет нормировке

,

где сделана замена . Выполнены условия (2.1) и (2.2), следовательно, .

Выполняется

. (2.24а)

Доказательство

Используем (2.24)

,

заменяем и получаем первое равенство (2.24а).

По формуле Эйлера

получаем второе равенство (2.24а).

Дифференцируем (2.24)

. (2.25)

Выражения в виде пределов

При выводе (2.24) получено

. (2.29)

Выполняется

, (2.30)

. (2.33)

Фурье-образ

Из (1.1)

и фильтрующего свойства (2.5)

находим

. (2.35а)

Теорема Фурье о смещении аргумента

и (2.35а) дают

. (2.35б)

Из (1.1) и интегрального представления (2.24)

получаем

. (2.36а)

Теорема Фурье о фазовом сдвиге функции

и (2.36а) дают

. (2.36б)

Из (2.35а) и теоремы Фурье о дифференцировании

находим

. (2.37а)

Из (2.36а) и теоремы Фурье об умножении на аргумент

получаем

. (2.37б)

Дельта-функция в двумерном пространстве

Декартовы координаты: , .

Учитываем независимость x и y, записываем двумерную δ-функцию

. (2.39)

Выполняется нормировка

.

Интегральное представление

, (2.40)

где учтено

, ,

.

Переходим к полярным координатам.

Полярные координаты:

, ,

,

якобиан преобразования

.

Полагаем

.

Ищем , используя условие нормировки

.

Находим

, , .

В результате

, (2.41)

, .

В случае центральной симметрии , тогда

.

Нормировка

,

с учетом

дает

,

. (2.42)