Дельта-функция

Определение. Дельта-функция

моделирует точечное возмущение и определяется в виде

(2.1)

Функция равна нулю во всех точках, кроме , где ее аргумент равен нулю, и где функция бесконечная, как показано на рис. 1,а. Задание значениями в точках аргумента неоднозначно из-за ее обращения в бесконечность, поэтому дельта-функция является обобщенной функцией, и требует доопределения в виде нормировки.

а б

Рис.1. Дельта-функция

Условие нормировки

, . (2.2)

Площадь под графиком функции равна единице в любом интервале, содержащем точку a, как показано на рис 1,б. Поэтому дельта-функция моделирует точечное возмущение единичной величины.

Четность функции следует из (2.1)

. (2.2а)

Из симметрии относительно точки получаем

, (2.2б)

как следует из рис 1,б.

Ортонормированность. Множество функций

, ,

образует ортонормированный бесконечномерный базис.

Дельта-функцию применил в оптике Кирхгоф в 1882 г., в электромагнитной теории – Хевисайд в 90-х годах XIX в.

Густав Кирхгоф (1824–1887) Оливер Хевисайд (1850–1925)

Оливер Хевисайд – ученый самоучка, впервые использовал в физике векторы, разработал векторный анализ, ввел понятие оператора и разработал операционное исчисление – операторный метод решения дифференциальных уравнений. Ввел функцию включения, названную позже его именем, использовал точечную импульсную функцию – дельта-функцию. Применил комплексные числа в теории электрических цепей. Впервые записал уравнения Максвелла в виде 4-х равенств вместо 20 уравнений, как было у Максвелла. Ввел термины: проводимость, импеданс, индуктивность, электрет. Разработал теорию телеграфной связи на большие расстояния, предсказал наличие у Земли ионосферы – слой Кеннелли–Хевисайда.

Математическую теорию обобщенных функций разработал Сергей Львович Соболев в 1936 г. Он был одним из основателей Новосибирского Академгородка. Его именем назван Институт математики СО РАН.