Спектр периодической функции

Разложение (1.48)

подставляем в преобразование Фурье (1.1)

.

Переставляем суммирование и интегрирование

.

Используем (2.24)

,

получаем спектр периодической функции

. (1.47)

Периодическая функция с периодом L имеет дискретный спектр с периодом в виде модулированной гребенчатой функции.

Теорема о дифференцировании

Разложение (1.48)

,

дифференцируем m раз

.

Результат сравниваем с разложением (1.48) для функции , получаем , тогда

. (1.50)

Разложение в ряд Фурье вещественной периодической функции

Вещественная функция с периодом L удовлетворяет

,

.

Из (1.49)

.

Выполняем комплексное сопряжение

,

Результат сравниваем с (1.49) и находим

.

Из (1.48)

получаем

, (1.53)

где учтено

,

.

Заменяем

,

где

,

.

Используем

.

Получаем разложение функции в ряд Фурье

. (1.54)

Из (1.49)

,

находим коэффициенты

,

,

. (1.54а)

Методы математической физики

Коллоквиум

1. Преобразование Фурье прямое и обратное. Свертка. Теоремы о свертке и об умножении функций. Теорема о частотной полосе.

2. Дельта-функция. Определение и интегральное представление. Выражение для сложного аргумента. Фурье-образ.

3. Прямоугольная функция и ее Фурье-образ.

4. Гамма-функция. Определение, рекуррентное соотношение. Значения: Г(1/2), Г(1), Г(2), Г(n + 1). Формула Стирлинга.

5. Функции гармонического осциллятора. Уравнение и решение. Условие ортонормированности. Уровни энергии осциллятора.

6. Сферическая функция. Определение, квантовые числа. Зависимость функции от углов  и . Условие ортонормированности.

7. Функция Бесселя первого рода. Уравнение. Условия нормировки. Поведение при x  0 и x  . Условие ортонормированности на интервале (0, ∞).

33