Теорема о свертке
Фурье-образ свертки функций равен произведению их фурье-образов
.
(1.24)
Доказательство
Используем (1.1) и (1.22)
.
Интегралы
расцепляем заменой в первом интеграле
аргумента
в виде
,
.
Учитываем
.
Получаем
.
Для обратного преобразования Фурье выполняется
.
(1.25)
Доказательство
Аналогично предыдущему доказательству получаем
.
Под
интегралом сделана замена
в виде
.
Теорема о произведении
Фурье-образ произведения непрерывных функций равен свертке их фурье-образов
,
.
(1.26)
Доказательство
Выполняем фурье-преобразование (1.25)
и используем интегральную теорему (1.20)
.
Теорема о дифференцировании
При
каждом дифференцировании функции ее
Фурье-образ умножается на
.
(1.35)
Доказательство
Формулу (1.2)
,
дифференцируем n раз
.
Сравниваем
результат с (1.2) – для функции
получаем Фурье-образ
.
Умножение
функции на
Умножение
функции на
приводит к дифференцированию ее
фурье-образа
,
.
(1.37)
Доказательство
Дифференцируем (1.1)
,
получаем
.
Сравниваем
результат с формулой (1.1), записанной
для функции
,
и получаем
.
Преобразование периодическОЙ функциИ
Функция с периодом L удовлетворяет
.
Спектр
периодической функции дискретный. Такая
функция разлагается по ортонормированному
базису гармонических функций с периодами
,
где
В акустике составляющая с
называется основным
тоном,
составляющие с
называются обертонами.
Базисы Фурье комплексных периодических функций
Условию периодичности
,
с
периодом
удовлетворяют комплексные функции
,
Доказательство
Выполняется
,
где учтено
,
,
Получаем базисы:
,
,
с периодом
.
Замена аргумента дает
:
,
,
с периодом L,
:
,
,
с периодом
,
где множитель перед экспонентой обеспечивает нормировку функции.
Базисы Фурье вещественных периодических функций
Для функции с периодом
,
Для четной функции с периодом
,
Для нечетной функции с периодом
,
Ортонормированность базисов
Дискретный базис функций , где , с периодом L ортонормирован, если
.
Частные случаи:
1.
,
,
где использовано:
;
,
при
;
.
2.
,
,
(1.43)
где сделана замена
,
и учтено, что интеграл по периоду функции не зависит от выбора нижнего предела.
3.
,
,
(1.44)
где сделана замена
.
4. Доказать самостоятельно:
,
,
.
(1.45)
5.
,
,
.
(1.46)
Разложение в ряд Фурье комплексной периодической функции
Для функции с периодом L используем ортонормированный базис гармонических функций с периодом L
,
,
удовлетворяющих
.
Разлагаем в ряд Фурье
.
(1.48)
Ищем
коэффициенты разложения
.
Умножаем
(1.48) на
и интегрируем
,
где переставлено суммирование и интегрирование. С учетом (1.43)
находим
.
Переобозначаем
,
и для периодической функции
получаем
.
(1.49)