Преобразование фурье

Древнегреческий математик Аполлоний Пергский представил сложное движение планеты от греч. πλανήτης – «блуждающая», совершающей неравномерное и иногда даже возвратное движение по небу, в виде суммы равномерных вращений по окружностям – эпициклам в III в до н.э.

Аполлоний Пергский – (ок. 262 – ок. 190 до н.э.)

Проекция равномерного вращения по окружности описывается гармоническими функциями – синусом, косинусом и экспонентой с мнимым показателем. Идея Аполлония через 2 тысячи лет была применена к функциям французским математиком Жаном Фурье. Он разложил функцию по гармоническим составляющим в 1807 г., и это называется преобразованием Фурье.

Жан Батист Жозеф Фурье (1768–1830)

Результаты Фурье получим путем использования ортонормированного базиса гармонических функций.

Бесконечномерный базис гармонических функций

, ; .

Орт является решением волнового уравнения Гельмгольца

,

и описывает плоскую волну

,

распространяющуюся вдоль оси x с волновым число k.

Герман Гельмгольц (1821–1894)

Базис с непрерывным спектром удовлетворяет:

условию ортонормированности

,

и условию полноты

.

Интегрирование выполнено при помощи формул, которые будут доказаны в разделе «Дельта-функция».

Преобразование Фурье функции является ее разложением по базису , спектр функции выражает обратное преобразование:

, (1.1)

. (1.2)

Использовано:

– оператор Фурье, действующий на функцию с аргументом x, находящуюся в скобках , и дающий функцию, зависящую от k;

– оператор обратного преобразования Фурье, действующий на функцию с аргументом k, находящуюся в скобках , и дающий функцию, зависящую от x;

– Фурье-образ или спектр функции ;

k и x – Фурье-сопряженные переменные, – безразмерная;

– ядро преобразований, не зависящее от преобразуемой функции.

Преобразование Фурье технически реализует, например, колебательный контур входного каскада радиоприемника, или телевизора. Выделенная полоса спектра далее усиливается. Рассмотрим примеры преобразования Фурье, использующие оптические устройства.

Оптическое преобразование Фурье

Анализатор частот функции, Анализатор волновых чисел

зависящей от времени – функции, зависящей от координат

спектрометр

На призму с дисперсией падает Плоская волна падает

волна с зависимостью на транспарант с

от времени . коэффициентом пропускания .

Призма преобразует Линза преобразует

время → частота, координата → волновое число,

, ,

амплитуда распределена амплитуда распределена

по углам. вдоль линии в фокальной плоскости.

, ,

Теоремы Фурье

Линейность преобразования

. (1.5)

Следует из линейности операции интегрирования в (1.1).

Масштабное преобразование аргумента функции

. (1.6)

Доказательство

В интеграле (1.1)

выполняем замену аргумента, результат сравниваем с (1.1):

.

Пример: Функция Гаусса

, .

При масштабном преобразовании с происходит сжатие по x в 2 раза (переход от сплошной линии к пунктирной), растяжение по k и уменьшение амплитуды в 2 раза.

Инверсия аргумента

Из (1.6)

при получаем

. (1.7)

Четности функции и ее фурье-образа совпадают:

если – четная функция , то и – четная функция;

если – нечетная функция , то и – нечетная функция.

Теорема о частотной полосе

, (1.8)

где дисперсии

; .

Уменьшение пространственной протяженности функции приводит к увеличению частотной протяженности ее образа, и наоборот, как показано на рисунке.

Для функции Гаусса

,

,

выполняется

, ,

.

Смещение аргумента

Сдвиг аргумента функции приводит к сдвигу фазы фурье-образа

. (1.9)

Доказательство

Используем (1.1)

,

получаем

.

Фазовый сдвиг

Сдвиг фазы функции приводит к сдвигу аргумента фурье-образа

. (1.10)

Доказательство

Из (1.1)

.

Комплексное сопряжение

Комплексное сопряжение функции приводит к комплексному сопряжению фурье-образа и инверсии его аргумента

. (1.11)

Доказательство

В (1.1) подставляем

.

Выполняем комплексное сопряжение (1.1)

.

Сравнение результатов дает (1.11).

Следствия (1.7) и (1.11)

,

:

1) если – вещественная и четная, то – вещественная и четная.

Доказательство

Используем

,

.

Следовательно,

;

2) если – вещественная и нечетная, то – мнимая и нечетная;

3) если – мнимая и четная, то – мнимая и четная;

4) если – мнимая и нечетная, то – вещественная и нечетная.

Утверждения 2, 3, и 4 доказать самостоятельно.