Гильбертово пространство с дискретным базисом
Гильбертово пространство – множество комплексных, квадратично интегрируемых функций, для которых определено скалярное произведение. Ввел Гильберт в 1910 г.
Давид Гильберт (1862–1943)
Базис ортов
,
,
N – размерность пространства – конечное или бесконечное число;
–комплексная,
квадратично интегрируемая функция,
определенная на интервале аргумента
.
Скалярное произведение определяется в виде
,
(0.5)
где
– вещественная весовая
функция;
– комплексно сопряженная функция.
Комплексное сопряжение
вещественное
число
;
мнимая
единица
,
;
формула
Эйлера
,
,
,
,
.
Формулу получил Эйлер в 1740 г.
Леонард Эйлер (1707–1783)
Комплексное число
,
;
квадрат модуля числа
;
.
Представление комплексного числа
точкой на плоскости
Условие ортонормированности базиса
.
(0.6)
Разложение функции по базису
,
(0.7)
где
– множество проекций, или спектр
функции
f(x).
Проекция
функции
на орт
.
(0.8)
Подстановка (0.8)→(0.7) дает тождество
,
если базис полон.
Условие полноты базиса
,
(0.9)
где
– дельта-функция,
– фильтрующее
свойство.
Теорема Парсеваля – является теоремой Пифагора в пространстве функций
,
(0.10)
где
,
.
Теорему получил Мари-Антуан Парсеваль (1755–1836) в 1799 г.
Доказательство
Подставляем (0.7)
в левую сторону (0.10)
.
Меняем порядок суммирований и интегрирования, считая все суммы конечными. Вычисляем интеграл, используя ортонормированность базиса:
.
Фильтрующее свойство символа Кронекера снимает одну сумму
,
получаем теорему Парсеваля
.
Другое доказательство использует (0.8) и (0.9).
Гильбертово пространство с непрерывным базисом
Базис ортов
,
где
.
Номер орта k
пробегает непрерывные значения в
интервале
.
Условие ортонормированности базиса. Непрерывность k приводит к замене символа Кронекера в условии (0.6) на дельта-функцию
,
(0.11)
где
– дельта-функция.
Разложение функции по базису
.
(0.12)
Спектр непрерывный
.
(0.13)
Совпадение спектров функций означает равенство функций.
Доказательство
Подставляем (0.12) в (0.13)
.
Меняем порядок интегрирований по x и k, считая интегралы существующими. Используем условие ортонормированности и фильтрующее свойство дельта-функции
.
Полученное тождество доказывает формулу (0.13).
Условие полноты базиса
.
(0.14)
Проверить самостоятельно, что подстановка (0.13) в (0.12) с учетом (0.14) дает тождество.
Теорема Парсеваля
.
(0.15)
Доказать самостоятельно с помощью (0.11) и (0.12), или с помощью (0.13) и (0.14).