4. Бикритериальная упрощенная формулировка задачи синтеза расписаний параллельной системы и алгоритм решения

Один из возможных подходов к решению задачи заключается в известном упрощении синтезирующей модели. Его суть можно пояснить, модифицировав исходную задачу (1.1)–(1.8) следующим образом:

Из контекста понятно, что данный подход к распределению заявок между приборами предполагает компромиссное решение по «чистому» быстродействию ОС без учета задержек ( λ ) и по равномерности распределения задержек между приборами ( β ). Релаксированная задача (1.26)–(1.32) NP-трудна в сильном смысле, поскольку кроме ограничений задачи о назначениях содержит также ограничения (1.29) и (1.30), которые позволяют классифицировать (1.26)–(1.32) как обобщенную булеву задачу о ранце.

(1.29) сумма задержек поступления всех заявок j, назначенных на прибор i не должна превышать β.

(1.30) сумма длительностей обработок заявок j, назначенных на прибор i не должна превышать λ.

Все множество Парето-оптимальных решений задачи (1.26)–(1.32) можно получить с помощью параметрического анализа, параметризовав один из критериев и последовательно находя границы интервалов устойчивости параметра (и соответствующих решений).

При принятии сложных решений (необходимым признаком сложного решения является наличие нескольких несводимых друг к другу критериев), направленных на максимизацию (минимизацию) значений нескольких противоречащих друг другу критериев, отыскиваются так называемые Парето-оптимальные решения. Решение Парето-оптимально, если значение любого из критериев можно улучшить лишь за счет ухудшения значений остальных критериев.

Рассмотрим алгоритм синтеза Парето-оптимальных решений задачи (1.26)–(1.32), обозначив его как A1.1.

Содержательное описание:

Пусть имеется ряд заявок, которые необходимо распределить между параллельными приборами при известной (различной) производительности таким образом, чтобы минимизировать суммарное время обслуживания всех заявок (минимизировать время окончания работы всей ОС, минимизировать суммарные затраты, либо максимизировать некоторый показатель качества обслуживания заявок). Прерывания обслуживания запрещены. Пусть также известно расписание поступления заявок в параллельную обслуживающую систему (задано задержками поступления заявок, отсчитываемыми от момента времени 0).

Один из возможных подходов к решению задачи заключается в известном упрощении синтезирующей модели.

Используются следующие ограничения:

1.28 Используется булева переменная назначения заявки j на прибор i x_ij (1 — назначено, 0 — не назначено)

1.26 Каждая заявка назначается только на один прибор.

1.27 Количество назначений заявок на один прибор ограничено сверху и снизу (в общем случае не менее 0 и не более общего числа заявок)

(1.29) Сумма задержек по расписанию заявок на приборе i ограничена сверху числом β (и так для каждого прибора), β минимизируется (1.32). 1.29 отражает равномерности распределения задержек между приборами. Правая часть β одинакова для всех ограничений 1.29 (для всех приборов)

1.30 Суммарная длительность обработки заявок на приборе i ограничена сверху числом λ (и так для каждого прибора), λ минимизируется (1.31). 1.30 отражает «чистое» быстродействие ОС без учета задержек. Правая часть λ одинакова для всех ограничений 1.30 (для всех приборов)

Бикритериальность в минимизации β и λ.

Все множество Парето-оптимальных решений задачи (1.26)–(1.32) можно получить с помощью параметрического анализа, параметризовав один из критериев и последовательно находя границы интервалов устойчивости параметра (и соответствующих решений).

Алгоритм синтеза Парето-оптимальных решений А1.1:

1. Известны задержка по расписанию каждой заявки и длительности обработки каждой заявки на каждом приборе. Задаем некоторое большое число M не меньше суммы всех задержек по расписанию.

2. Число М становится правой частью ограничения суммы задержек заявок по расписанию на каждом приборе i. То есть, это ограничение с такой правой частью фактически снимается (оно выполнится при любых значениях переменных назначения x).

3. Решаем задачу в описанной выше постановке. Если система ограничений несовместна, запоминаем номер шага и переходим к п.5. Если получено оптимальное решение, запоминаем переменные назначения и значения критерия

4. Переходим к следующему шагу. Теперь правая часть ограничения суммы задержек заявок по расписанию на каждом приборе i чуть меньше, чем максимальная сумма задержек заявок по расписанию (максимум берется по приборам), вычисленная с учетом назначений заявок на приборы (полученных на предыдущем шаге). Переходим к шагу 3.

5. Фиксируем Парето-оптимальное множество решений (состоит из критериев оптимальности λ и β и переменных назначения, найденных на всех шагах), определяем наилучшее из них по постановке задачи в виде ЗЛПБП (вопрос 3) по лучшим значениям критериевЗ. Конец.