3. Редукция задачи оптимизации расписаний параллельной системы в задачу частично-целочисленного линейного программирования

Приведем (1.1)–(1.8) к нормальному виду задачи математического программирования. Условия (1.5)–(1.8) содержат рекурсивные функции фактических задержек τ_ij. В явном виде τ_ij, как рекурсивные функции относительно переменных x_{i, j} , определяет (1.5). Не раскрыв рекурсии, задачу (1.1)–(1.8) точно решить невозможно. Приведем пример раскрытия рекурсий.

В 1.11

В булевой функции

Таким образом, при раскрытии рекурсий получается задача (1.1)-(1.4), (1.13), (1.6)-(1.8), неразрешимая точными методами.

Для преобразования задачи в задачу частично-целочисленного линейного программирования с булевыми переменными (ЗЛПБП).

неравенств.

K — максимально возможное число единиц (число переменных x в центральной части двойного неравенства (в функции для данного случая))

Соответствующие условия истинности:

0 ≤

истинно при условии и = 0 (см. табл. истинности выше ).

Проверим:

0 ≤

0 ≤ , верно

Здесь K по-прежнему максимально возможное число единиц (число переменных x в центральной части двойного неравенства). Увеличилось на 1, т.к. добавили

вычисляются исходя из назначений заявок на приборы, найденных приближенным способом (вопрос №4).

Пусть имеется распределение заявок по приборам:

X⁰ =

Тогда =1 ; =1 ; =1 Выбираются интервалы 1..0..1, где на концах стоят 1, а в середине 0.

Ограничение (1.21) служит для проверки условия истинности.

=1. К=j-k+1. K=4-2+1=3.

-K+2 ≤ ,

-3+2 ≤

-1 ≤ верно

Ограничение (1.22) используется для вычисления компенсирующих переменных yij.

Например:

-,

и даны в условии задачи. (k меняется от 1 до j).

Пусть:

-,

-,

-,

Y ij должны быть положительны, если отрицательны, то игнорируем их.

Ограничение (1.23)

+++

В данном примере j=5, k=j=5.

Аналогично составляется неравенство для второго прибора i=2.

Содержательное описание:

Пусть имеется ряд заявок, которые необходимо распределить между параллельными приборами при известной (различной) производительности таким образом, чтобы минимизировать суммарное время обслуживания всех заявок. Прерывания обслуживания запрещены. Пусть также известно расписание поступления заявок в параллельную обслуживающую систему (задано задержками поступления заявок, отсчитываемыми от момента времени 0). В качестве базового рассмотрим линейное обслуживание.

Редукция используется, чтобы убрать рекурсию в вычислении фактических задержек заявки. Так как переменные назначения булевы, при раскрытии используются булевы функции.

Сначала для одного прибора расписывается несколько подряд идущих ориентировочных фактических задержек Вводятся булевы функции, используется индукция по размерности. В результате получаем вычисление ориентировочных фактических задержек через булевы функции (в общем виде булевы функции обозначаются f_i,j,k). Для каждой булевой функции вводится булева переменная u_i,j,k, которая истинна только тогда, когда истинна соответствующая булева функция. Эти переменные вводятся вместо функций f_i,j,k

Используются следующие ограничения:

1.19 Используется булева переменная назначения заявки j на прибор i x_ij (1 — назначено, 0 — не назначено)

1.17 Каждая заявка назначается только на один прибор.

1.18 Количество назначений заявок на один прибор ограничено сверху и снизу (в общем случае не менее 0 и не более общего числа заявок)

1.20 Для каждой булевой функции f_i,j,k, зависящей от переменных с x_ik по x _i,j-1 вводится булева переменная u_i,j,k, которая истинна только тогда, когда истинна соответствующая булева функция.

1.21 Записывается ограничение, задающее условие истинности переменной u_i,j,k Смысл его сложно описать. K — максимально возможное число единиц (число переменных x в центральной части двойного неравенства).

1.22 используется для вычисления компенсирующих переменных y_ij. Нас интересуют только неотрицательные.

В общем, во все ограничения вместо подставляется выражение для этой переменной, использующее u_i,j,k Фактическая задержка теперь явно также не вычисляется. Явный смысл некоторых ограничений не так очевиден из-за преобразований.

Критерий остается тем же. Суммарное время обработки заявок на приборе i ограничено сверху числом λ (и так для каждого прибора), λ минимизируется.