0 5. Функции затрат длительного периода. Кривая средних затрат длительного периода и отдача от масштаба.

На долговременном этапе времени фирма может менять все используемые факторы производства, а потому все затраты являются переменными. В длительном периоде изменение размеров капитала позволяет фирме сократить издержки. По мере расширения экономической деятельности в длительном периоде издержки меняются под влиянием эффекта масштаба, При постоянном эффекте масштаба средние издержки производства будут одинаковы для всех объемов производства. При возрастающем эффекте масштаба средние издержки снижаются, а при уменьшающемся эффекте масштаба - средние издержки производства растут.

Д ля большинства производственных технологий фирм эффект масштаба сначала возрастающий, затем постоянный и, наконец, падающий. Кривая средних долговременных издержек имеет U-образную форму, также как и кривая средних краткосрочных издержек, но причина U-образной формы в первом случае заключается скорее в возрастающем и падающем эффекте масштаба, а не в действии закона убывающей отдачи по отношению к факторам производства (рис.1).

Р ис. 2 показывает взаимосвязь между затратами в коротком и длительном периодах. Предположим, фирма не уверена в будущем спросе на свою продукцию и рассматривает три альтернативных варианта размеров предприятия. Линии краткосрочных средних затрат по трем вариантам: AТC1, AТC2 и АТС3. Решение имеет огромное значение, поскольку после того, как предприятие построено, его размеры невозможно изменить в течение некоторого времени. Рис.2 показывает случай, при котором в длительном периоде эффект масштаба постоянный. Если фирма рассчитывает производить Q1 единиц продукции, то ей следует строить самый маленький по размерам завод, если Q2 - завод средних размеров, и если О3 - самый большой завод. Если осуществимы только эти размеры предприятия, любой выбор объема производства между Q1 и Q2, Q2 и О3 повлечет за собой рост средних издержек.

При возрастающем или падающем эффекте масштаба линия долговременных средних издержек представляет собой огибающую краткосрочных кривых средних издержек (рис.3).

О тметим, что кривая LAТC никогда не поднимается выше любой кривой краткосрочных средних затрат. Точки минимальных средних затрат самого маленького и крупнейшего из предприятий не находятся на кривой средних затрат длительного периода вследствие возрастающего и убывающего эффекта масштаба. Небольшое предприятие, действующее с минимальными средними издержками, нерентабельно, потому что у более крупного предприятия есть преимущество из-за возрастающего эффекта масштаба, дающее возможность выпускать продукцию с более низкими средними издержками.

Чтобы представить функцию затрат в длинном периоде в алгебраическом виде нужно решить следующую задачу: найти такие значения L и K, удовлетворяющие равенству Q = L^αK^β, при которых сумма (r_LL + r_KK) достигает минимума. Для этого воспользуемся минимизацией функции Лагранжа:

Ф = r_LL + r_KK - λ(L^αK^β - Q),

где λ - сомножитель Лагранжа.

Она достигает минимума при одновременно:

В соответствии с заданной производственной функцией

решим совместно эти 2 уравнения, получаем:

Подставив эти значения в функцию затрат, после преобразований получим

При неизменном эффекте масштаба (α+β = 1) в длинном периоде средние затраты равны предельным затратам и не зависят от объема выпуска: