3.1. Ряды с большим числом наблюдений.

y = [x1 … … x10]: size (y) = 1 .. 160

z = sort (y)

z = [159 160 161 … … 189 190 191]

Ряд измерений малого объёма хорошо «просматривается». При большом числе измерений следует:

1. Расположить результаты измерений в порядке их возрастания.

2. Сформировать упорядоченный ряд наблюдений, для чего:

   1. По базе z(160) – z(1) образовать базу признака.

   2. Получить ряд частот, соответствующих каждому признаку.

Как получить ряд частот?

D = [ ]; %Ряд частот с другим интервалом(базой признака)

forN = 159:1:190; %Выбор интервала в базе признака

f = z > (N-1) & z <=N;

v = sum (f);

D = [D v];

end

D

sum (D)=160

3. Построить полигон частот по результатам 160 измерений.

Вычисление средней арифметической и дисперсии рядов с большим числом измерений.

1. Средняя арифметическая.

N = [159 160 … … 190] size (N) = 32

n = sum (D) = 160 size (D) = 32

2. Дисперсия.

, - частота, n = 160

V = [N – (ones (1,32).*ss)].^2

sd = (1/160)*V*D’=39.9231;

s = sqrt (sd) = 6.3185

хххххххххххххххххххххххххххххххххххххххххххх

ххххххххххххххххххххххххххххххххххххххххххххх

Нормальное распределение.

На практике часто приходится иметь дело с распределениями, которые несущественно отличаются от нормального или, как его ещё называют, распределением Гаусса.

Его свойства:

1. Кривая симметрична, имеет форму колокола и асимптотически приближается к оси абсцисс.

2. Вершина кривой нормального распределения лежит над абсциссой, соответствующей математическому ожиданию

3. Колоколообразная кривая имеет две точки перегиба, расстояние от которых до ординаты вершины, т.е. до вертикали, проведённой через математическое ожидание, равно среднему квадратическому отклонению. Расстояние между двумя точками перегиба равно . Таким образом, среднеквадратическое отклонение можно представить наглядно.

4. С увеличением кривая становится более пологой.

5. Плотность нормального распределения выражается функцией:

, где е = 2.71828; = 3.14159; и - математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение нормального распределения.

6. и - параметры нормального распределения. Они постоянны для определённого распределения.

Рис. 3.5. Кривая нормального распределения.

При вычислениях формулу плотности нормального распределения используют в несколько ином варианте, заменив переменную на . Найдём

; .

Выделим функцию:

Принимая во внимание ширину интервала , получим:

, где - плотность нормированного нормального распределения с математическим ожиданием и средним квадратичным отклонением , т.к. при и при имеем .

С помощью функции и формулы

легко вычислить нормальное распределение с любым математическим ожиданием и средним квадратичным отклонением.

Площадь под кривой нормального распределения.

В гистограмме за высоты прямоугольников брались значения, пропорциональные частотам. Тогда при одинаковой ширине интервалов площади отдельных прямоугольников пропорциональны наблюдаемым частотам. Следовательно, сумма частот всего ряда равна сумме площадей всех прямоугольников.

Обозначим ширину интервала через . Очевидно, площадь всех прямоугольников равна:

, где - число интервалов.

Увеличивая число измерений и повышая их точность, мы можем уменьшить ширину интервала и в пределе получить:

Вся площадь под кривой Гаусса равна единице (или 100%), независимо от величины :

.

График кривой нормального распределения с небольшим средним квадратическим отклонением (СКО)– узкий и высокий, а с большим СКО – широкий и плоский (см. рис.).

При вычислениях используют следующую интегральную функцию:

Эту функцию называют интегралом ошибок Гаусса (интегралом вероятностей).

Связь между величинами и имеет вид: .

численно равна площади под нормированной нормальной кривой распределения от 0 до или от 0 до , т.е. колоколообразная кривая симметрична.

1. Если и лежат по правую сторону от вершины кривой и , то искомая площадь .

Если оба значения лежат по левую сторону от вершины кривой, то пользуются тем же выражением.

2. Если одно значение лежит слева, а другое справа от вершины кривой, то искомая площадь .

Так как площадь под кривой нормального распределения равна 1, то площадь, ограниченная ординатами в точках и , представляет собой относительную частоту, или вероятность того, что значение признака попадает в интервал от до или, что то же самое, в интервал от до .

Если - общее число наблюдений, то частота вариационного ряда, которую следует ожидать в интервале или равна:

.

Таким образом, с помощью интеграла ошибок Гаусса вычисляется теоретическая частота на любом участке распределения.

	Границы	Число наблюдений между границами, %
Односигмовые Двухсигмовые Трёхсигмовые		68,26 95,44 99,73%

Рис. 3.6. Нормальное распределение.

Если надо получить 95, 99 и 99,9 %, то нужно вокруг математического ожидания отсечь участок с границами:

Границы	Число наблюдений между границами, %
	95 99 99,9 %

Вычисление площадей по уравнению , где

- плотность нормального распределения.