Матан / семестр1 для фби студ / прог фб 1 сем2012

ФБИ I Колкер Людмила Федоровна

Модуль 1. Ввведение в математический анализ.

Множества. Множество . Операции над множествами. Мощность множества. Конечные и бесконечные, счетные и несчетные множества.

Множество действительных чисел. . Множество комплексных чисел. Операции над комплексными числами

Функция действительной переменной. Определение, способы задания функции. Классификация. График функции. Основные характеристики поведения функции. Сложная и обратная функции. График обратной функции. Простейшие элементарные функции. Элементарные функции .

Числовые последовательности. Ограниченные и монотонные последовательности. Предел числовой последовательности. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Свойства сходящихся последовательностей. Достаточное условие сходимости (теорема Вейерштрасса). Число е.

Предел функции. Определения предела функции в точке (по Гейне и по Коши). Предел функции на бесконечности. Односторонние пределы функции в точке. Свойства функций, имеющих конечный предел. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Свойства бесконечно малых функций. Основные теоремы теории пределов. Классификация бесконечно малых и бесконечно больших функций. Эквивалентные бесконечно малые и бесконечно большие функции.

Непрерывность функции в точке. (определения на языке ε - δ и на языке приращений). Алгебраические операции над непрерывными функциями. Односторонняя непрерывность. Точки разрыва функции и их классификация. Непрерывность функции на отрезке. Свойства функций, непрерывных на отрезке: обращение в нуль, сплошность значений, ограниченность, существование наибольшего и наименьшего значений (первая и вторая теоремы Больцано-Коши, и теоремы Вейерштрасса).

Непрерывность простейших элементарных функций. Непрерывность сложной и обратной функций. Непрерывность элементарной функции.Замечательные пределы. Использование эквивалентных функций при вычислении пределов.

Модуль 2. Дифференциальное исчисление функции одной переменной.

Производная и дифференциал функции. Определение производной, ее механический и геометрический смысл. Уравнения касательной и нормали к плоской кривой. Дифференцируемость функции. Дифференциал. Связь дифференциала с производной. Геометрический смысл дифференциала. Линеаризация функции. Дифференцируемость и непрерывность функции. Производные простейших элементарных функций. Основные правила дифференцирования. Производная и дифференциал сложной функции. Инвариантность формы первого дифференциала. Дифференцирование функций, заданных неявно и параметрически. Производные и дифференциалы высших порядков. Правило Лейбница.

Теоремы о дифференцируемых функциях. Теоремы Ролля, Лагранжа и Коши, их применение. Правило Бернулли-Лопиталя. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа и Коши. Представление функций ex, sinx, cosx, ln (1+x), (1+x) по формуле Тейлора. Приближенное вычисление функций с помощью дифференциала и формулы Тейлора. Использование формулы для вычисления пределов.

Исследование функций с помощью производных. Условия возрастания и убывания функции. Точки экстремума. Необходимые и достаточные условия существования экстремума. Отыскание наибольшего и наименьшего значений непрерывной на отрезке функции. Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба. Необходимые и достаточные условия существования точки перегиба. Применение старших производных к исследованию поведения функции в стационарных точках. Асимптоты графика функции. Общий план исследования функции и построение графика.

Модуль 3. Интегральное исчисление функции одной переменной.

Неопределенный интеграл. Первообразная. Неопределенный интеграл, его свойства. Таблица основных формул интегрирования. Методы интегрирования: по формулам, по частям, заменой переменной.

Основные классы интегрируемых функций. Рациональные дроби. Разложение многочлена на множители. Разложение правильной рациональной дроби на простейшие. Интегрирование простейших рациональных дробей. Интегрирование рациональной дроби методом разложения на простейшие. Интегрирование рациональных тригонометрических выражений. Интегрирование некоторых иррациональных выражений. Использование таблиц интегралов. Использование таблиц интегралов. Понятие об интегралах, не берущихся в элементарных функциях.

Определенный интеграл. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Определенный интеграл как предел интегральных сумм. Свойства определенного интеграла. Условия интегрируемости функции. Интеграл с переменным верхним пределом. Производная интеграла по переменному верхнему пределу. Формула Ньютона-Лейбница. Интегрирование по частям и заменой переменной. Приближенное вычисление определенного интеграла.

Несобственные интегралы I и II рода. Основные свойства. Интегралы от положительных функций. Теоремы сравнения. Достаточные признаки сходимости. Несобственные интегралы от произвольных функций. Абсолютная и условная сходимость.

Приложение определенных интегралов. Вычисление площадей плоских фигур, длин дуг кривых, объемов тел вращения. Физические приложения определенного интеграла: вычисление статических моментов, координат центров тяжести кривых и плоских фигур.

ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ I семестр (56 часов).

1. Комплексные числа и действия с ними (2часа).

2. Функции и графики. Построение графиков элементарных функций в декартовой системе координат и в полярной системе координат (2 ч).

3. Предел последовательности (2 часа).

4. Предел функции. (2 часа).

5. Непрерывность функции, классификация точек разрыва (2часа).

6. Замечательные пределы (2 часа).

7. Сравнение б.м., вычисление пределов с помощью б.м. (4 часа).

8. Коллоквиум по теме “Введение в математический анализ”(2 часа).

9. Производные и дифференциал, техника дифференцир (4 ч).

10. Задачи на применение производной, правило Лопиталя (4 часа).

11. Формула Тейлора (2 часа).

12. Исследование функций и построение графиков (4 часов).

13. Защита типового расчета по дифференциальному исчислению(2 часа).

14. Интегрирование по таблице, замена переменной и интегрирование по частям (4часа).

15. Интегрирование рациональных дробей (2 часа).

16. Интегрирование тригонометрических выражений (2 часа).

17. Интегрирование некоторых иррациональных выражений (2часа).

18. Определенный и несобственный интегралы. Приложения определенных интегралов часов).

19. Контрольная работа по интегралам (2 часа).

20. Заключительное занятие(2 часа).

.Литература

1. Берман Г. Н. Сборник задач по курсу математического анализа. М..

2. Бермант А.Ф. Араманович И.Г. Краткий курс математического анализа.

3. Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа. Т. 1,.2. М., «Высшая школа», 1999.

4. ПисьменныйД.Т.Конспект лекций по высшей математике.1часть.

Рейтинг ( I семестр 100 баллов)

Работа в семестре (80 баллов)

1. Типовой расчет № 1., часть 1. Введение в анализ.5баллов.

2. Контрольная работа № 1 по введению в анализ.15 баллов.

3. Типовой расчет № 1, часть 2. Дифференциальное исчисление .5 баллов

4. Защита типового расчета № 1, части 2 по дифференциальному исчислению.15

5. Типовой расчет № 2 по интегралам.10 баллов

6. Контрольная работа № 2 по интегралам.15 баллов.

7. Домашние задания 15

Штрафные баллы (вычитаются из накапливаемой суммы) за неполное и (или) несвоевременное выполнение текущих заданий – до 2 баллов.

Возможные дополнительные виды работы, повышающие рейтинг:

– реферативное изложение какой-либо темы или вопроса по согласованию с лектором.

Экзамен (устный)40 баллов. Допуск к экзамену не менее 30.

Критерии оценок контрольных недель:

Доля заработанных относи- тельно возможного баллов	Оценка
Менее 33%	0
33–66%	1
Более 67%	2

Итоговая оценка:

Удовлетворительно 50 – 74 E, D- ,D, D+ ,C-;

хорошо 75 – 84 C,C+,B-,B;

отлично 85 – 100 B+,A-,A,A+.

Вопросы к коллоквиуму, экзамену

1. Определение функции. Классификация функций. График обратной функции.

2. Простейшие элементарные функции. Элементарные функции.

3. Предел последовательности, функции (конечная, бесконечная точка).

4. Определение б.м.ф. Теорема о представлении функции через предел и б.м.ф.

5. Свойства б.м.ф.

6. Определение бесконечно большой функции, ее свойства.

7. 1-й замечательный предел.

8. 2-й замечательный предел.

9. Сравнение б.м.ф. Формулы эквивалентных б.м.ф.из 1-го замечательного пред.

10. Вывести формулы эквивалентности б.м.ф. следующие из 2-го замечат. предела.

11. Арифметические свойства пределов .

12. Свойства пределов, связанные с неравенствами.

13. Предел отношения б.м.ф., эквивалентность суммы б.м.ф.

14. Сравнение бесконечно больших функций, сумма, отношение б.б.ф.

15. Определение непрерывности, непрерывность элементарных функций.

16. Свойства функций, непрерывных на отрезке.

17. Определение производной, геометрический, физический смысл.

18. Дифференцируемость функций. Дифференциал.

19. Правила дифференцирования, таблица производных.

20. Производные первого и второго порядков для функции ,заданной параметрически.

21. Производные и дифференциалы высших порядков.

22. Теоремы Ферма, Ролля.

23. Теорема Лагранжа. Теорема Коши.

24. Правило Лопиталя. Раскрытие неопределенностей вида

25. Формула Тейлора, остаточный член формулы Тейлора.

26. Формулы Маклорена для функций: exp(x),sin x, cos x, ln(1+x), (1+x)ⁿ.

27. Исследование поведения функции с помощью 1-ой производной, возрастание, убывание, необходимые условия существования экстремума.

28. Достаточные условия существование экстремума через у' и производные более высоких порядков.

29. Наибольшее, наименьшее значения функции на отрезке.

30. Выпуклость, вогнутость, точки перегиба.

31. Асимптоты функций.

32. Схема исследования и построения графика функций.

33. Неопределенный интеграл. Теорема о множестве первообразных.

34. Свойства неопределенных интегралов, основная таблица.

35. Замена переменной в неопределенном интеграле.

36. Интегрирование по частям в неопределенном интеграле.

37. Разложение многочлена на простейшие множители.

38. Интегрирование рациональных дробей (общая постановка).

39. Интегрирование простейших дробей I,II,III и IV типа.

40. Интегрирование некоторых иррациональностей.

41. Интегрирование R( sin x, cos x )

42. Определенный интеграл и его свойства.

43. Определенный интеграл как функция верхнего предела. Формула Ньютона-Лейбница.

44. Замена переменной в определенном интеграле.

45. Интегрирование по частям в определенном интеграле.

46. Вычисление площадей плоских фигур (криволинейная трапеция, сектор).

47. Объем тела вращения.

48. Длина дуги, поверхность тела вращения.

49. Несобственные интегралы 1рода, определение, признаки сходимости

50. Несобственные интегралы II рода.