Формулы дифференцирования . . . , a>0, a1. . . . . . . . . .

Правила дифференцирования

1.const' =0 , 2.(f + g)' =f ' + g'.

3.(uv)' = u'v + v'u .4.(C f)' = C(f)'.

5.6. f '(u(x))=

Дифференциал и его свойства

df(x) = f '(x)dx . 1. dC=0 . 2. df(x)=d(f(x)+C) . 3. Cdf(x) = d(Cf(x)) .

4. d(uv)=udv+vdu . 5. .

d(x+c)=dx, xdx=, cosxdx=dsinx.

Формулы интегрирования

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. .

7. .

8. .

9. .

10. .

11. .

12. .

13. .

Свойства интегралов

1. .

2. .

3. .

4

Методы интегрирования

Замена переменной:

а)  f(x)dx =  f((u))'(u)du = g(u)du|_u= ^-1_(x);

б) подведение под знак дифференциала

 f((u)) '(u)du =  f((u))d(u),

Интегрирование по частям:  udv =uv -  vdu.

;

u dv u dv

I.Интегрирование рациональных дробей R(x ) =

P_n(x), Q_m(x) - многочлены степенeй n, m.

1. n>m, n=m -выделяем целую часть дроби.

=M_n-m(x) +, k<m, M_n-m(x) - целая часть.

2. Знаменатель раскладываем на простейшие множители Q_m(x) = a_m (x- )^s ... (x- )^l (x ²+px+q)^t ... , а дробь (правильную) на простейшие дроби вида:

( + ...+ ) +...( + ...+ ) +

+(+...+)+…,

(число неопред. коэф. равно m - степени знаменателя), находим коэффициенты, подставляем ,интегрируем.

+++.

II. Интегрирование триг. функций  R(sinx,cosx)dx -универсальная подстановка tg(x/2)=t, и ф. триг 11; либо:

а)R(sinx,cosx)=-R(-sinx,cosx),нечетна относительно sinx,

подстановка cosx=t, или sinx dx = - dcosx;

б)R(sinx,cosx)=-R(sinx,-cosx),нечетна относительно cosx,

подстановка sinx=t, или cosx dx = dsinx;

в)R(sinx,cosx)= R(-sinx,-cosx),четна относит. sinx, cosx,

подстановка tgx=t, или cos^-2x dx = dtgx и ф.триг.4,6;

г) sinⁿ x cos^mxdx n, m -четны, положительны-

понижение степени по формулам тригонометрии 8, 10,

д)  sinax cosbxdx, формула тригонометрии 14.

III.Интегрирование иррациональностей

1. ,) dx

подстановка:=t^s ,где s=НОК(n,..,m)

частный случай:

подстановка: x=t¹⁵ , dx=15t¹⁴dt ...

2. выделяем полный

квадрат и подстановка: x+=t.

3. , x = .

4. , x =.

5. , x =().

6. дробное p=:

если целое, то = t^k,

если +p целое, то = t^kxⁿ_.

Формулы тригонометрии

1) 1+ctg²x=1/sin²x , 4) cos²x=1/(1+ tg²x)

3)1+tg²x=1/cos²x , 6) sin²x=1/(1+ ctg²x)

7)1-cosx=2sin²(x/2) ,8) cos²x=(1+cos2x)/2

9)1+cosx=2cos²(x/2),10)sin²x=(1-cos2x)/2

11), ,

12) cos cos=(cos( -)+ cos( +))/2

13. sin sin = (cos( -)- cos( +))/2

14) sin cos= (sin( -)+ sin( +))/2.

где